МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС
ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ
§28. РІВНЯННЯ КОЛА ТА ПРЯМОЇ.
3. Рівняння прямої.
З курсу алгебри нам відомо, що пряма є графіком лінійної функції у = kх + b та графіком лінійного рівняння з двома змінними ах + bу = с. Розглянемо рівняння прямої у геометрії.
Рівняння прямої в прямокутній системі координат має вигляд
ах + bу + с = 0,
де а, b, с - числа, причому а і b одночасно не дорівнюють нулю.
Рівняння ах + bу + с = 0 називають ще загальним рівнянням прямої.
Приклад 1. Знайдіть точки перетину прямої 2х - 7у - 14 = 0 з осями координат.
Розв’язання. 1) Нехай точка А(х; 0) - точка перетину прямої з віссю абсцис. Тоді 2х – 7 ∙ 0 - 14 = 0; x = 7. Отже, А(7; 0) – точка перетину прямої з віссю абсцис.
2) Нехай В(0; у) - точка перетину прямої з віссю ординат. Тоді 3 ∙ 0 — 7y — 14 = 0; у = -2. Отже, В(0; -2) - точка перетину прямої з віссю ординат.
Рівняння прямої, що проходить через точки А(х1;у1) і В(х2;у2), має вигляд
х = m, якщо х1 = х2 = m;
у = n, якщо у1 = у2 = n;
Приклад 2. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(3; -4) і B(2; -1).
Розв’язання. Маємо 3х +
у - 5 = 0 - шукане рівняння прямої.
Зауважимо, що правильність складеного рівняння легко перевірити, підставивши по черзі координати обох точок.
Якщо у загальному рівнянні прямої ах
+ bу + с = 0 коефіцієнт b
відмінний від нуля, то можна виразити у через
х:
Позначивши -a/b = k, -с/b = l, отримаємо у = kх + l.
Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kх + l дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатнім параметром осі х.
Коефіцієнт к у рівнянні у = kх + l називають кутовим коефіцієнтом. Якщо к > 0, то пряма утворює гострий кут з додатнім напрямом осі х, а якщо к < 0 - то тупий.
Звідки отримаємо важливу умову паралельності прямих:
прямі, що задані рівнянням у = k1х + l1 і у = k2х + l2, паралельні тоді і тільки тоді, коли k1 = k2.
Приклад 3. Чи паралельні прямі 2х - 3у + 7 = 0 і 4х - 6у - 9 = 0?
Розв’язання. З рівняння 2х - 3у + 7 = 0 маємо 3у = 2х +7; у = 2/3х + 7/3. З рівняння 4х - 6у - 9 = 0 маємо 6у = 4х - 9; у = 2/3х - 1,5. Обидва рівняння мають однаковий кутовий коефіцієнт, тому прямі паралельні.
Рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку А(х0; у0), має вигляд у – у0 = k(х - х0).
Приклад 4. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку А(-2; 1) і утворює з додатнім напрямом осі абсцис кут 135°.
Розв’язання. 1) k = tg α; k = tg 135° = -1.
2) Маємо рівняння у - 1 = -1(х - (-2)); у - 1 = -х - 2; х + у + 1 = 0 - шукане рівняння.
Для того, щоб знайти координати точок перетину прямих а1х + b1у + с1 = 0 і а2х + b2у + с2 = 0 необхідно розв’язати систему, рівняннями якої є рівняння, які задають дані прямі.
Приклад 5. Знайдіть точку перетину прямих 4х – y - 7 = 0 і 2x + 5y - 9 = 0.
Розв’язання. Розв’язуючи систему дістанемо
х = 2; у = 1.
Отже, (2; 1) - точка перетину прямих.