ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§28. РІВНЯННЯ КОЛА ТА ПРЯМОЇ.

3. Рівняння прямої.

 

З курсу алгебри нам відомо, що пряма є графіком лінійної функції у = kх + b та графіком лінійного рівняння з двома змінними ах + bу = с. Розглянемо рівняння прямої у геометрії.

Рівняння прямої в прямокутній системі координат має вигляд

ах + bу + с = 0,

де а, b, с - числа, причому а і b одночасно не дорівнюють нулю.

Рівняння ах + bу + с = 0 називають ще загальним рівнянням прямої.

Приклад 1. Знайдіть точки перетину прямої 2х - 7у - 14 = 0 з осями координат.

Розв’язання. 1) Нехай точка А(х; 0) - точка перетину прямої з віссю абсцис. Тоді 2х – 7 ∙ 0 - 14 = 0; x = 7. Отже, А(7; 0) – точка перетину прямої з віссю абсцис.

2) Нехай В(0; у) - точка перетину прямої з віссю ординат. Тоді 3 ∙ 0 — 7y — 14 = 0; у = -2. Отже, В(0; -2) - точка перетину прямої з віссю ординат.

Рівняння прямої, що проходить через точки А(х₁;у₁) і В(х₂;у₂), має вигляд

х = m, якщо х₁ = х₂ = m;

у = n, якщо у₁ = у₂ = n;

Приклад 2. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(3; -4) і B(2; -1).

Розв’язання. Маємо 3х + у - 5 = 0 - шукане рівняння прямої.

Зауважимо, що правильність складеного рівняння легко перевірити, підставивши по черзі координати обох точок.

Якщо у загальному рівнянні прямої ах + bу + с = 0 коефіцієнт b відмінний від нуля, то можна виразити у через х:

Позначивши -a/b = k, -с/b = l, отримаємо у = kх + l.

Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kх + l дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатнім параметром осі х.

Коефіцієнт к у рівнянні у = kх + l називають кутовим коефіцієнтом. Якщо к > 0, то пряма утворює гострий кут з додатнім напрямом осі х, а якщо к < 0 - то тупий.

Звідки отримаємо важливу умову паралельності прямих:

прямі, що задані рівнянням у = k₁х + l₁ і у = k₂х + l₂, паралельні тоді і тільки тоді, коли k₁ = k₂.

Приклад 3. Чи паралельні прямі 2х - 3у + 7 = 0 і 4х - 6у - 9 = 0?

Розв’язання. З рівняння 2х - 3у + 7 = 0 маємо 3у = 2х +7; у = 2/3х + 7/3. З рівняння 4х - 6у - 9 = 0 маємо 6у = 4х - 9; у = 2/3х - 1,5. Обидва рівняння мають однаковий кутовий коефіцієнт, тому прямі паралельні.

Рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку А(х₀; у₀), має вигляд у – у₀ = k(х - х₀).

Приклад 4. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку А(-2; 1) і утворює з додатнім напрямом осі абсцис кут 135°.

Розв’язання. 1) k = tg α; k = tg 135° = -1.

2) Маємо рівняння у - 1 = -1(х - (-2)); у - 1 = -х - 2; х + у + 1 = 0 - шукане рівняння.

Для того, щоб знайти координати точок перетину прямих а₁х + b₁у + с₁ = 0 і а₂х + b₂у + с₂ = 0 необхідно розв’язати систему, рівняннями якої є рівняння, які задають дані прямі.

Приклад 5. Знайдіть точку перетину прямих 4х – y - 7 = 0 і 2x + 5y - 9 = 0.

Розв’язання. Розв’язуючи систему дістанемо х = 2; у = 1.

Отже, (2; 1) - точка перетину прямих.