Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ
§30. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА. ДІЇ З ВЕКТОРАМИ, ЩО ЗАДАНО КООРДИНАТАМИ.
3. Множення вектора, що задано координатами, на число. Умова колініарності векторів.
Добутком (х;у) на число λ(λ ≠ 0) є вектор λ
(λх; λу).
Наприклад, добуток вектора (- 2; 3) на число 4 є вектор 4
(- 8; 12) , на число -1 — вектор -
(2;-3), на число -3 — вектор -3
(6;-9).
Для добутку вектора на число справджується властивості:
Для будь-якого вектора і чисел α і β виконується
Для будь-яких векторів і
і числа α виконується
Приклад 1. Дано вектори (1; - 4) і
( -2; 3) . Знайдіть координати вектора:
Розв’язання. Запис розв’язання зручно вести так:
Вектор, колініарний вектору
, можна подати у вигляді
= λ
, λ ≠ 0 і навпаки, якщо
= λ
, то вектори
і
— колініарні.
З цього можна отримати умову колініарності векторів, що задані координатами.
Нехай задано вектори(х 1; у 1) і
(х2; у2), якщо
1) х 1 = х2 = 0, то вектори(0; у 1) і
(0; у2) — колініарні, причому, якщо y 2/y 1 > 0, то
↑↑
; а якщо y 2/y 1< 0, то
↑↓
.
2) y 1 = y 2 = 0, то вектори(х 1; 0) і
(х2; 0) - колініарні, причому, якщо x 2/x 1 > 0, то
↑↑
, а якщо x 2/x 1 < 0, то
↑↓
.
3) х1 ≠ 0, х2 ≠ 0, y 1 ≠ 0, y 2 ≠ 0, то вектори і
колініарні, якщо x 2/x 1 = y 2/y 1 = λ, причому, якщо λ > 0, то
↑↑
; а якщо λ < 0, то
↑↓
.
Приклад 2. При якому значення у вектори (2;-7) і
(- 6; у) колініарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?
Розв’язання. Маємо Оскільки
то
↑↓
.