ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§30. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА. ДІЇ З ВЕКТОРАМИ, ЩО ЗАДАНО КООРДИНАТАМИ.

3. Множення вектора, що задано координатами, на число. Умова колініарності векторів.

Добутком (х;у) на число λ(λ ≠ 0) є вектор λ (λх; λу).

Наприклад, добуток вектора (- 2; 3) на число 4 є вектор 4 (- 8; 12) , на число -1 — вектор - (2;-3), на число -3 — вектор -3 (6;-9).

Для добутку вектора на число справджується властивості:

Для будь-якого вектора і чисел α і β виконується

Для будь-яких векторів і і числа α виконується

Приклад 1. Дано вектори (1; - 4) і (-2; 3). Знайдіть координати вектора:

Розв’язання. Запис розв’язання зручно вести так:

Вектор , колініарний вектору , можна подати у вигляді = λ, λ ≠ 0 і навпаки, якщо = λ, то вектори і — колініарні.

З цього можна отримати умову колініарності векторів, що задані координатами.

Нехай задано вектори (х₁; у₁) і (х₂; у₂), якщо

1) х₁ = х₂ = 0, то вектори (0; у₁) і (0; у₂) — колініарні, причому, якщо y₂/y₁ > 0, то ↑↑ ; а якщо y₂/y₁ < 0, то ↑↓ .

2) y₁ = y₂ = 0, то вектори (х₁; 0) і (х₂; 0) - колініарні, причому, якщо x₂/x₁ > 0, то ↑↑ , а якщо x₂/x₁ < 0, то ↑↓ .

3) х₁ ≠ 0, х₂ ≠ 0, y₁ ≠ 0, y₂ ≠ 0, то вектори і колініарні, якщо x₂/x₁ = y₂/y₁ = λ, причому, якщо λ > 0, то ↑↑ ; а якщо λ < 0, то ↑↓ .

Приклад 2. При якому значення у вектори (2;-7) і (- 6; у) колініарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Розв’язання. Маємо Оскільки то ↑↓ .