ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§3. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

2. Паралельність прямої і площини.

 

На малюнку 374 пряма а паралельна площині α, це позначають так: а || α.

Корисною є ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

На малюнку 375 пряма m не належить площині α і m ll α, а α. Тоді за ознакою паралельності прямої і площини, отримаємо, що m || α.

 

 

Сформулюємо властивості прямої і площини, паралельних між собою.

1. Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній.

На малюнку 375 m || α, тоді в площині α існує пряма а така, що m || α. Зауважимо, що таких прямих у площині є безліч.

2. Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

3. Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна даній площині, то друга пряма також паралельна даній площині або лежить у цій площині.

На малюнку 376 і 377: а || b і а || α. Тоді b а (мал. 376) або b || α (мал. 377).

 

 

Приклад 1. Площина α, яка паралельна основам АВ і СD трапеції АВСD, перетинає бічні сторони АD і ВС відповідно в точках М і N. Знайти АВ, якщо М - середина АD, МN = 6 см; DС = 4 см.

Розв’язання. 1) Прямі МN і DС лежать в одній площині - площині МDС (мал. 378).

 

 

2) Припустимо, що МN DС = К.

3) Оскільки К МN; МN α, то К α. Тоді точка К є точкою перетину прямої DС і площини α, що суперечить умові. Отже, DС || МN.

4) Оскільки DС || АВ, DС || МN, то за ознакою паралельності прямих МN || АВ.

5) Оскільки DМ = МА і АВ || МN || DС, то за теоремою Фалеса: N - середина ВС. Тому МN - середня лінія трапеції АВСD.

Приклад 2. Площина α, паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає сторону АС в точці А₁, а сторону ВС в точці В₁. АС : А₁C = 3 : 2. Знайти довжину сторони АВ, якщо А₁В₁ = =6 см.

Розв’язання. 1) Аналогічно попередньому прикладу можна довести, що АВ || А₁B₁.

2) СВ₁А₁ = СВА (відповідні кути при паралельних прямих АВ і А₁В₁ та січній СВ), С - спільний кут для трикутника АСВ і трикутника А₁СВ₁. Тому ∆АСВ - ∆А₁СВ₁ (за двома кутами).

Отже,