Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ
§8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА. ПРОЕКЦІЯ ПОХИЛОЇ НА ПЛОЩИНУ.
2. Властивості перпендикуляра і похилої.
Розглянемо властивості перпендикуляра і похилої.
1) Перпендикуляр, опущений із даної точки до площини, менший від будь-якої похилої, проведеної з цієї самої точки до площини.
На малюнку 411: АН < АК.
2) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до площини, рівні, то рівні їх проекції.
На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK 1 та перпендикуляр АН і АК = АК 1. Тоді за властивістю: НК = НК1.
3) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до даної площини, мають рівні проекції, то вони рівні між собою.
На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK 1 та перпендикуляр АН, причому КН = К 1Н. Тоді за властивістю: АК = АК 1.
4) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більша похила має більшу проекцію.
На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН, AК > AL. Тоді за властивістю: HК > HL.
5) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більшою з них є та, яка має більшу проекцію на дану площину.
На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН, НК > НL. Тоді за властивістю: АК > АL.
Приклад 1. З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 41 см і 50 см. Знайти проекції похилих, якщо вони відносяться, як 3 : 10, та відстань від точки до площини.
Розв’язання. 1) АL = 41 см; АК = 50 см (мал. 413). За властивістю маємо НL < НК. Позначимо НL = 3х см, НК = 10х см, АН = h см. АН - відстань від точки А до площини α.
4) Прирівнюючи, маємо 412 - 9х2 = 502 - 100х2; х2 = 9; х = 3 (враховуючи х > 0). Отже, НL = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).
Приклад 2. З даної точки до площини проведено дві похилі, кожна по
см. Кут між похилими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Знайти відстань від точки до площини.
Розв’язання.
1) АС = ВС = см - похилі, 
ВАС = 60°; ВНС = 90° (мал. 414). Необхідно знайти АН.
2) У рівнобедреному трикутнику АВС: 
тому ∆АВС - рівносторонній; ВС = см.
3) Оскільки АВ = АС, то НВ = НС; позначимо НВ = НС = х см. Тоді у ∆ВНС:
