Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ
§10. ДВОГРАННИЙ КУТ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПЛОЩИН.
2. Перпендикулярність площин.
Дві площини, що перетинаються, утворюють чотири двогранні кути. Якщо один з них дорівнює 90°, то інші, теж дорівнюють 90º (мал. 421).
Дві площини називаються перпендикулярними, якщо перетинаючись вони утворюють прямі двогранні кути.
Якщо площини α і β перпендикулярні, то це записують так: α 
β.
Важливою є ознака перпендикулярності площин: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.
На малюнку 421: α β і а
α. Тоді за ознакою отримаємо: α β.
Приклад 1. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутника ABCD. Яким є взаємне розміщення площин АВС і МАС?
Розв’язання. 1) Нехай точка О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 422). Оскільки AM = МС, то ∆АМО = ∆СМО (за трьома сторонами), тому 
AOM = СОМ = 90°. Отже, MO АС.
2) Аналогічно доводимо, що MO BD.
3) Оскільки МО АС і MO BD, то за ознакою перпендикулярності прямої і площини отримаємо, що MO АВС.
4) Тоді за ознакою перпендикулярності площин маємо МАС ABC. Отже, площини АВС і МАС перпендикулярні.
Приклад 2. Два рівнобедрених трикутники АВС і АВС1 мають спільну основу АВ = 16 см. Площини трикутників перпендикулярні. Знайти відстань між точками С і С 1, якщо АС = 10 см, АС 1 = 17 см.
Розв’язання. 1) Нехай точка К - середина АВ, тоді СК - медіана і висота рівнобедреного трикутника АВС, а С 1К — медіана і висота трикутника АВС1 (мал. 423).
2) Оскільки СК АВ і С 1К АВ, то СКС 1 — лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами трикутників. За умовою СКС 1 = 90°.
