Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§15. ПРИЗМА.

2. Перерізи призми.


Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА 1С 1С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА 1. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.



Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA 1B 1C 1D 1 - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см, A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС 1А1 - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC 1 = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:

4) Тоді

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА1В1С 1 - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС 1.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника:

4) Оскільки CM AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ АВ.

Тоді КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС 1, то СС 1 = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).







Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити