Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§16. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД.

1. Означення паралелепіпеда, його властивості.


Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм.

У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

Оскільки паралелепіпед є призмою, то всі властивості призми справедливі і для паралелепіпеда.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основи, називають прямим паралелепіпедом. Його бічні грані - прямокутники. На малюнку 459 зображено прямий паралелепіпед.



Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим. На малюнку 460 зображено похилий паралелепіпед.



Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають протилежними гранями. На малюнку 460 протилежними гранями є грані АВСD і А 1В 1C 1D 1, АВВ1А1 і СDD 1С 1, АА 1D 1D і ВВ1С 1С.

Розглянемо властивості паралелепіпеда.

1) Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

Приклад 1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 10 см і 17 см, а одна з діагоналей основи 21 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 29 см. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) Нехай а = 10 см і b = 17 см - сторони основи; d 1 = 21 см - діагональ основи. За властивістю діагоналей паралелепіпеда: звідси

Оскільки < 21, то більшою діагоналлю паралелепіпеда є та, проекцією якої на площину основи є діагональ основи з довжиною 21 см.

2) (мал. 459) АС = 21 см; А 1С = 29 см.

3) Оскільки прямий паралелепіпед є видом прямої призми, то площу бічної поверхні S біч прямого паралелепіпеда можна знайти за формулою S біч = Рl, де Р - периметр основи, l - довжина бічного ребра.

Р = 2(10 + 17) = 54 (см). S біч = 54 ∙ 20 = 1080 (см2).

Приклад 2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі ромба. Знайти об’єм паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) Нехай АВСDА1В1С1 D 1 - заданий в умові паралелепіпед; АВСD - ромб; АВ = 4 см; BAD = 60° (мал. 461).



2) Площа основи

3) ∆АВБ - рівносторонній; BD = АВ = 4 см.

4) В ∆АВС: АВС = 90° , за теоремою косинусів:

5) Оскільки ВD < АС, то В 1D - менша діагональ паралелепіпеда.

7) Тоді об’єм






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити