ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§15. ПРИЗМА.

2. Перерізи призми.

 

Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА₁С₁С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА₁. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

 

 

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см, A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС₁А₁ - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC₁ = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:

4) Тоді

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС₁.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника:

4) Оскільки CM AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ АВ.

Тоді КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС₁, то СС₁ = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).