МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§15. ПРИЗМА.

3. Площі повної та бічної поверхонь призми.

 

Площею повної поверхні призми називають сум площ всіх її граней, а площею бічної поверхні призми - суму площ її бічних граней.

Площа Sповн повної поверхні призми виражається через площу Sбіч її бічної поверхні і площу Sосн основ призми формулою

Теорема про площу бічної поверхні прямої призми. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину її бічного ребра.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, менша основа якої дорівнює 3 см, бічна сторона 4 см, а кут при основі 60°. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо її висота дорівнює більшій основі трапеції.

Розв’язання. 1) Нехай АВСDА1В1sub>С1D1 - чотирикутна призма, що задана в умові; DС = 3 см, АD = 4 см, DAB = 60° (мал. 454).

 

 

2) Виконаємо планіметричний малюнок трапеції АВСD, що лежить в основі призми (мал. 455), та проведемо в ній висоти DК і СL.

 

 

4) КDСL - прямокутник, тому КL = DС = 3 см.

5) ВАК = СВL (за катетом і гіпотенузою), тому АК = LВ; LВ = 2 см.

6) Тоді АВ = 2 + 3 + 2 = 7 (см).

7) Висота призми ВВ1 за умовою дорівнює більшій основі трапеції. Отже, ВВ1 = 7 см.

Нехай у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді бічну поверхню похилої призми можна знайти за формулою:

де Pпер - периметр перерізу; l - довжина бічного ребра.

 

 

Приклад 2. У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні. їх спільне бічне ребро знаходиться на відстанях 3 см і 4 см від двох інших бічних ребер. Знайти довжину бічного ребра призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 120 см2.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА1В1С1 - похила призма, у якої КL — відстань між паралельними ребрами ВВ1 і АА1, бічні грані АВВ1А1 і ВВ1С1С взаємно перпендикулярні (мал. 456).

2) Виберемо на ребрі ВВ1 деяку точку L та проведемо КL ВВ1 та LМ ВВ1; LМ - відстань між паралельними ребрами ВВ1 і СС1, за умовою КL = 3 см; LМ = 4 см.

3) Оскільки КL ВВ1 і LМ ВВ1, то КLМ ВВ1 (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Тому КLМ - кут між бічними гранями АВВ1А1 і ВВ1С1С. За умовою КLМ=90°.

5) Переріз КLМ перпендикулярний до бічних ребер призми.

тоді бічне ребро





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити