МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§17. ПІРАМІДА.

1. Означення піраміди. Елементи піраміди.

 

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

 

 

Піраміду називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр. На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

 

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або довжини всіх бічних ребер рівні, то основою висоти піраміди є центр кола описаного навколо основи піраміди.

Приклад 1. Кожне з бічних ребер тетраедра дорівнює 65/8 см. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. Знайти висоту піраміди.

Розв’язання (мал. 464). 1) Нехай QАВС - тетраедр, що задано в умові, ВС = 6 см; QК - висота тетраедра.

2) Оскільки всі бічні ребра тетраедра рівні, то точка К - центр кола, описаного навколо #8710;АВС; АК = R - радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

3) За відомою формулою де а, b, с - сторони трикутника; S - його площа.

4) Знайдемо площу трикутника за формулою Герона

 

 

Також при розв’язуванні задач важливою є властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути або довжини висот всіх бічних граней рівні, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Приклад 2. Основою піраміди є ромб з діагоналями 40 см і 30 см. Висота піраміди дорівнює 5 см. Всі висоти бічних граней рівні між собою. Знайти довжину висоти бічної грані.

Розв’язання. 1) Оскільки всі висоти бічних граней рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу. Оскільки основою є ромб, то точка К - основа висоти є точкою перетину діагоналей ромба. На малюнку 465 зображено піраміду QАВСD, що задано в умові.

2) АВСD - основа піраміди, АС = 30 см, ВD = 40 см, QК - висота піраміди, QК = 5 см.

3) QМ - висота бічної грані, QМ АD

4) КМ - проекція QМ на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри: КМ АD.

5) АD - висота прямокутного трикутника АКD.

7) Знайдемо двічі площу АКD:

 





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити