ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§22. КУЛЯ. СФЕРА.

2. Взаємне розміщення кулі і площин.

Площина α і куля можуть або не мати спільних точок (мал. 501) або мати одну спільну точку (мал. 502) або перетинатися і мати безліч спільних точок (мал. 503).

Нехай ОМ = r — радіус кулі, а О А = d - перпендикуляр, опущений з центра кулі - точка О до площини α (відстань від центра кулі до площини α).

а) Якщо площина α і куля не мають спільних точок, то d > r;

б) Якщо площина α і куля мають одну спільну точку, то d = r;

в) Якщо площина α і куля мають безліч спільних точок, то d < r.

Зауважимо, що обернене твердження також вірне: якщо d > r, то площина і куля не мають спільних точок, якщо d = r, то площина і куля мають одну спільну точку, якщо d < r, то площина і куля мають безліч спільних точок.

Приклад. Радіус кулі дорівнює 4,5 см. Скільки спільних точок має куля із площиною, якщо відстань від центра кулі до площини дорівнює: 1) 4 см, 2) 4(1/2) см, 3) 5 см.

Розв’язання. 1) 4 < 4,5, тому безліч спільних точок.

2) 4(1/2) = 4,5, тому одна спільна точка.

3) 5 > 4, тому жодної спільної точки.

Розглянемо детальніше випадки коли площина і куля мають одну або безліч спільних точок.