МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§23. КОМБІНАЦІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ.

4. Піраміда, описана навколо конуса.

 

Дотичною площиною до конуса називають площину, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить цю твірну (мал. 509).

 

 

Піраміду називають описаною навколо конуса, якщо її основа описана навколо основи конуса, а вершиною є вершина конуса (мал. 510).

 

 

При цьому конус називають вписаним у піраміду. Зауважимо, що бічні грані піраміди належать площинам, дотичним до конуса.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса.

1) Конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.

2) Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Приклад. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60º. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

Розв’язання. 1) Нехай у трикутну піраміду з основою АВС і вершиною Q вписано конус (мал. 510). Основа висоти конуса точка О - центр кола, вписаного в АВС.

2) Нехай точка К - точка дотику кола, вписаного в АВС, до сторони АВ. Позначимо ОК = R - радіус кола, вписаного в АВС, і також радіус основи конуса.

3) ОК АВ, за теоремою про три перпендикуляри QК АВ, тому QКО - лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою QКО = 60°.

4) За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою де а, b - катети, с - гіпотенуза.

5) За умовою АС = 6 см, ВС = 8 см - катети.

Тоді гіпотенуза

6) Маємо

7) QO - висота піраміди і конуса. В тоді





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити