МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§23. КОМБІНАЦІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ.

5. Многогранник, вписаний в кулю.

 

Многогранник називають вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.

При цьому кулю називають описаною навколо многогранника.

Основні властивості призми, вписаної в кулю, такі (мал. 511):

1) Кулю можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, що сполучає центри кіл, описаних навколо многокутників основ призми.

3) Основи призми вписані в рівні паралельні перерізи кулі.

 

 

Приклад 1. Навколо правильної трикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5 см, описано кулю. Радіус кулі дорівнює 13 см. Знайти висоту призми.

Розв’язання. 1) Нехай навколо правильної трикутної призми АВСАІВ1С1 описано кулю (мал. 511).

2) QB = RABC - радіус кола, описаного навколо АВС. де а = 5 см - сторона основи правильного трикутника АВС.

Тоді

3) У OQB: ОВ = R = 13 см - радіус кулі, OQB = 90°.

Маємо

4) Оскільки точка О - середина висоти призми QQ1 то QQ1 = 2 12 = 24 (см).

Основні властивості піраміди, що вписана у кулю, наступні (мал. 512).

 

 

1) Кулю можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло. Центр кулі, описаної навколо піраміди, лежить на перпендикулярі до площини основи, проведеному через центр кола, описаного навколо основи.

2) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на прямій, що містить висоту піраміди.

3) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, збігається з центром кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою - висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Зазначимо, що центр описаної кулі може належати висоті піраміди, або лежати на її продовженні (тобто знаходиться або всередині піраміди, або за її межами). Розв’язуючи задачі способом, запропонованим нижче, немає потреби розглядати два випадки. При обраному способі розв’язування місце розташування центра кулі (усередині чи поза пірамідою) не враховується.

Приклад 2. Доведіть, що радіус кулі R, описаної навколо правильної піраміди, можна знайти за формулою де Н - висота піраміди, r - радіус кола, описаного навколо основи піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай точка О - центр кулі, описаної навколо правильно: піраміди з висотою QК (мал. 512). За умовою QК = Я, КА = r - радіус кола описаного навколо основи.

2) Продовжимо QК до другого перетину з кулею в точці Q1. Тоді QQ1 = 2R - діаметр кола, а тому QАQ1 = 90° і QQ1 - гіпотенуза прямокутного трикутника QАQ1.

4) За властивістю катета прямокутного трикутника у QАQ1 матимемо АQ2 = QQ1 QК, тобто АQ2 = 2R Н.

5) Отже, АQ2 = Н2 + г2 і АQ2 = 2RН. Звідси Н2 + r2 = 2RН; R = (r2 + H2)/2H, що й треба було довести.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити