ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§23. КОМБІНАЦІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ.

6. Многогранник, описаний навколо кулі.

 

Многогранник називають описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

При цьому кулю називають вписаною у многогранник.

Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі (мал. 513):

1) Кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є многокутник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центри кіл, вписаних у многокутники основ призми.

 

 

Приклад 1. Відомо, що в трикутну призму, сторони основ якої дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см, можна вписати кулю. Знайти радіус цієї кулі.

Розв’язання. 1) Діаметр вписаної кулі дорівнює висоті призми і в той самий час дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Отже, радіус кола, вписаного в основу призми дорівнює радіусу кулі.

2) Радіус кола r, вписаного в основу призми, знайдемо за формулою r = S/p, де S - площа трикутника основи, р - його півпериметр.

4) За формулою Герона

6) Отже, радіус кулі також дорівнює 4 см.

Сформулюємо основні властивості піраміди, описаної навколо кулі (мал. 514).

 

 

1) Якщо в піраміді всі двогранні кути при основі рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати сферу. Центр сфери належить висоті піраміди, точка дотику з основою піраміди збігається з центром вписаного в основу кола, а точки дотику з бічними гранями належать висотам цих граней.

2) У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю. Центр кулі належить висоті піраміди.

3) Центр кулі, вписаної у правильну піраміду, збігається з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема правильної піраміди, а висотою — висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Приклад 2. Відомо, що в трикутну піраміду, висота якої дорівнює 20 см, а висота однієї з бічних граней 25 см, можна вписати кулю. Знайти її радіус.

Розв’язання. 1) Нехай QK - висота трикутної піраміди QABC, а QM - висота бічної грані (мал. 514). За умовою QK = 20 см, QM = 25 см.

2) За умовою в піраміду можна вписати кулю. Нехай центр цієї кулі – точка О, а точка L - точка дотику кулі до бічної грані QAC, L QM.

3) Позначимо OK = OL = r - радіус вписаної кулі.

4) Прямокутні трикутники ОКМ і OLM рівні (за катетом і гіпотенузою). Тому OMK = OML, а отже, МО - бісектриса кута QMK, а тому й трикутника QMK.

5) За властивістю бісектриси трикутника маємо

7) Врахуємо, що OQ = QЯК - ОК, та підставимо у рівність (1): звідси r = 8 ∙ 4/7 (см).

Зауважимо, що в геометрії розглядають також інші комбінації геометричних тіл (наприклад, циліндра і піраміди, кулі і циліндра тощо).