Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ
Тема 9. АЛГЕБРАЇЧНІ ДРОБИ ТА ДІЇ НАД НИМИ
Алгебраїчний дріб
Алгебраїчним називається дріб, чисельник і знаменник якого є алгебраїчними виразами.
Наприклад: 
; 
; 
— алгебраїчні дроби.
Передбачається, що використані в записі алгебраїчного дробу букви можуть набувати тільки таких значень, при яких знаменник цього дробу не дорівнює нулю.
Наприклад: дріб 
має зміст при всіх значеннях змінної а, крім 0 і 9.
Основна властивість дробу
При множенні чисельника і знаменника дробу на один і той самий алгебраїчний вираз одержуємо дріб, що дорівнює даному дробу.
Наприклад: 
= 
= 
.
Скорочення алгебраїчних дробів
Використовуючи основну властивість дробу, можна скорочувати алгебраїчні дроби на спільний множник чисельника і знаменника.
Наприклад: 
= 
= 
.
Якщо змінити знак чисельника (або знак знаменника) дробу і знак перед дробом, то одержимо вираз, що тотожно дорівнює даному:
-
= 
; -
= .
Дії з дробами
Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їх чисельники, а знаменник залишити той самий.
Наприклад:
+
= 
= 
;
- 
= 
= 
= 
.
Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:
1) розкласти на множники чисельник і знаменник кожного дробу;
2) скоротити множники в чисельнику і знаменнику кожного дробу;
3) знайти і записати спільний знаменник дробів;
4) знайти і записати додаткові множники для кожного дробу;
5) записати суму (різницю) добутків чисельників і додаткових множників, ураховуючи знаки, в чисельник дробу;
6) спростити (якщо можливо) одержаний дріб.
Наприклад: 
+ 
- 
= 
+ 
- =
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу.
Якщо b ≠ 0, d ≠ 0, то ∙ 
= 
.
Наприклад: 
∙ 
= 
= 
.
Щоб розділити один дріб на інший, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.
Якщо b ≠ 0, с ≠ 0 і d ≠ 0, то :
= ∙
.
Наприклад: 
: 
= ∙ 
= 
.
Тотожне перетворення раціональних алгебраїчних виразів
Виконати тотожні перетворення раціонального виразу (виразів) загального вигляду, що містить цілі і дробові вирази, означає звести вираз (вирази) до дробу, чисельник і знаменник якого є многочленами стандартного вигляду. При цьому послідовність виконання перетворень така сама, як і послідовність виконання дій у числових виразах.
Наприклад:
I спосіб 
= 
= 
∙ 
= 
= 
.
II спосіб = 
= 
= 
= 
= .
Виконайте тест 9
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. При яких значеннях змінної а вираз 
не має змісту?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-2 |
2 |
-3 |
3 |
0 |
Увага! Перетворення виразів у завданнях № 2—8 виконуємо на множині всіх допустимих значень змінної (змінних), що входять до них.
2. Скоротіть дріб 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
|
|
|
1 |
3. Якщо 
= 3, то дорівнює
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4. Спростіть вираз 
- 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
0 |
4 |
|
|
5. Спростіть вираз 
- 
- 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
a - 1 |
a + 1 |
6. Виконайте множення дробів 
∙ 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
7. Спростіть вираз 
: 
: 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
8. Виконайте ділення дробів 
: 
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між раціональними виразами (1—4) та раціональними виразами (А—Д), що є тотожно рівними на всій області їх визначення.
1 |
|
А |
|
2 |
|
Б |
|
3 |
|
В |
a |
4 |
|
Г |
b |
Д |
-a-b |
Розв'яжіть завдання 10-—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Перший і другий крани наповнюють ванну водою за 20 хвилин, другий і третій — за 15 хвилин, а перший і третій — за 12 хвилин. За скільки хвилин наповнять таку ж ванну три крани, працюючи разом?
11. Знайдіть значення виразу (
) ∙ (х2 + х + 1), якщо х = 99.
12. Знайдіть значення виразу (ух-1 - ху-1) : (2 - ху-1 - ух-1) : (ух-1 + 1), якщо х = 99, у = - 1.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
