АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 9. АЛГЕБРАЇЧНІ ДРОБИ ТА ДІЇ НАД НИМИ

Алгебраїчний дріб

Алгебраїчним називається дріб, чисельник і знаменник якого є алгебраїчними виразами.

Наприклад: ; ;  — алгебраїчні дроби.

Передбачається, що використані в записі алгебраїчного дробу букви можуть набувати тільки таких значень, при яких знаменник цього дробу не дорівнює нулю.

Наприклад: дріб  має зміст при всіх значеннях змінної а, крім 0 і 9.

Основна властивість дробу

При множенні чисельника і знаменника дробу на один і той самий алгебраїчний вираз одержуємо дріб, що дорівнює даному дробу.

Наприклад:  =  = .

Скорочення алгебраїчних дробів

Використовуючи основну властивість дробу, можна скорочувати алгебраїчні дроби на спільний множник чисельника і знаменника.

Наприклад:  =  = .

Якщо змінити знак чисельника (або знак знаменника) дробу і знак перед дробом, то одержимо вираз, що тотожно дорівнює даному:

- = ; - = .

Дії з дробами

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Наприклад:

+ =  = ;

 -  =  =  = .

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:

1) розкласти на множники чисельник і знаменник кожного дробу;

2) скоротити множники в чисельнику і знаменнику кожного дробу;

3) знайти і записати спільний знаменник дробів;

4) знайти і записати додаткові множники для кожного дробу;

5) записати суму (різницю) добутків чисельників і додаткових множників, ураховуючи знаки, в чисельник дробу;

6) спростити (якщо можливо) одержаний дріб.

Наприклад:  +  -  =  +  -  =

= =  = =

=  =  =  = .

Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу.

Якщо b ≠ 0, d ≠ 0, то  ∙  = .

Наприклад:  ∙  =  = .

Щоб розділити один дріб на інший, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

Якщо b ≠ 0, с ≠ 0 і d ≠ 0, то : = ∙.

Наприклад:  :  =  ∙  = .

Тотожне перетворення раціональних алгебраїчних виразів

Виконати тотожні перетворення раціонального виразу (виразів) загального вигляду, що містить цілі і дробові вирази, означає звести вираз (вирази) до дробу, чисельник і знаменник якого є многочленами стандартного вигляду. При цьому послідовність виконання перетворень така сама, як і послідовність виконання дій у числових виразах.

Наприклад:

I спосіб   =  =  ∙  =  = .

II спосіб   =  =  =  =  = .

Виконайте тест 9

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. При яких значеннях змінної а вираз  не має змісту?

А	Б	В	Г	Д
-2	2	-3	3	0

Увага! Перетворення виразів у завданнях № 2—8 виконуємо на множині всіх допустимих значень змінної (змінних), що входять до них.

2. Скоротіть дріб .

А	Б	В	Г	Д
-1				1

3. Якщо  = 3, то   дорівнює

А	Б	В	Г	Д
1	2	3	4	5

4. Спростіть вираз  - .

А	Б	В	Г	Д
	0	4

5. Спростіть вираз  -  - .

А	Б	В	Г	Д
			a - 1	a + 1

6. Виконайте множення дробів  ∙ .

А	Б	В	Г	Д

7. Спростіть вираз  :  : .

А	Б	В	Г	Д

8. Виконайте ділення дробів  : .

А	Б	В	Г	Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між раціональними виразами (1—4) та раціональними виразами (А—Д), що є тотожно рівними на всій області їх визначення.

1		А
2		Б
3		В	a
4		Г	b
		Д	-a-b

Розв'яжіть завдання 10-—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Перший і другий крани наповнюють ванну водою за 20 хвилин, другий і третій — за 15 хвилин, а перший і третій — за 12 хвилин. За скільки хвилин наповнять таку ж ванну три крани, працюючи разом?

11. Знайдіть значення виразу () ∙ (х² + х + 1), якщо х = 99.

12. Знайдіть значення виразу (ух^-1 - ху^-1) : (2 - ху^-1 - ух^-1) : (ух^-1 + 1), якщо х = 99, у = - 1.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.