Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ
Тема 10. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
Квадратний корінь
Квадратнім коренем із числа а називається число, квадрат якого дорівнює а.
Наприклад: квадратний корінь із числа 4 дорівнює 2 або -2, бо 22 = 4, (-2)2 = 4.
Арифметичний квадратний корінь
Арифметичнім квадратним коренем із числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.
Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають так: . Знак
називають знакам арифметичного квадратного кореня, вираз, який стоїть під знаком кореня. — підкореневим виразом. Запис
читають так: «квадратний корінь із а» (слово «арифметичний» при читанні опускають).
Отже, = b, b
0 означає b2 = а.
Якщо а < 0, то вираз не має змісту.
Наприклад: = 4, бо 42 = 16;
= 15, бо 152 = 225.
З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що при невід’ємних значеннях а справедлива рівність ()2 = а.
Якщо а 0, то
= а. Якщо а < 0, то
= -а. Отже.
= |a| =
Властивості арифметичних квадратних коренів
1. Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників:
=
∙
, де а
0, b
0.
Якщо а 0, b > 0, то
∙
=
.
Наприклад: =
∙
= 8 ∙ 0,2 = 1,6;
∙
=
=
= 4.
2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню із чисельника, діленому на корінь зі знаменника:
=
, де а
0, b > 0.
Якщо а 0, b > 0, то
=
.
Наприклад: =
=
,
=
=
= 4.
3. Внесения множника під знак квадратного кореня:
а) b =
, при b
0;
б) b =
, при b < 0;
4. Винесення множника з-під знака кореня:
a) = b
, при b
0;
б) = -b
, при b < 0.
Ірраціональні числа
Числа, які не можна подати у вигляді , де m ∈ Z, n ∈ N, називають ірраціональними.
Наприклад, числа ,
,
,
, е — ірраціональні числа.
Запис ірраціональних чисел у вигляді десяткового дробу
Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.
Наприклад: = 1,4142135...
= 3,1415926...
е = 2,71828182...
Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є записом деякого ірраціонального числа.
Дійсні числа, їх запис у вигляді десяткового дробу
Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, яку позначають символом R. Кожне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним, і дійсним. Кожне ціле число є також раціональним і дійсним.
Наприклад: усі числа , -3, 0,
, -
— дійсні; перші три — раціональні; два останні — ірраціональні; -3, 0 — цілі.
Будь-яке дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу.
Наприклад: = 0,5 = 0,500…,
= 0,3333…,
= 3,1622776… .
Будь-який нескінченний десятковий дріб є записом деякого дійсного числа
Виконайте тест 10
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Укажіть правильне твердження.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
найменшого натурального числа не існує |
Кожне дійсне число є раціональним |
кожне раціональне число є цілим |
кожне просте число є непарним |
кожне раціональне число є дійсним |
2. Значення якого з поданих виразів дорівнює 1?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3. Яке з поданих чисел є найбільшим?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
4,(62) |
3,(3) |
-2,75 |
-2,(63) |
4,623 |
4. Значення якого з поданих виразів дорівнює 14?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
5. Знайдіть наближене значення виразу а + b, де а = 1,0539... і b = 2,0610.... попередньо округливши а і b до тисячних.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3,113 |
3,114 |
3,115 |
3,116 |
3,117 |
6. Між якими цілими послідовними числами міститься число ?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5 і 6 |
6 і 7 |
7 і 8 |
8 і 9 |
9 і 10 |
7. Яке з наведених тверджень неправильне?
А |
в |
В |
Г |
Д |
сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом |
сума двох простих чисел може бути простим числом |
частка двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом |
добуток двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом |
добуток раціонального та ірраціонального чисел може бути раціональним числом |
8. Спростіть вираз -5у6 , якщо у < 0.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-5у7 |
-5у8 |
5у8 |
5у7 |
5у12 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між виразами (1—4) та їхніми числовими значеннями (А—Д).
1 |
|
А |
2 |
2 |
|
Б |
4 |
3 |
В |
5 |
|
4 |
|
Г |
9 |
Д |
26 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Знайдіть значення виразу 2 +
2.
11. Знайдіть значення виразу +
.
12. Знайдіть значення виразу ∙ (
+1).
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.