АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 10. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Квадратний корінь

Квадратнім коренем із числа а називається число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад: квадратний корінь із числа 4 дорівнює 2 або -2, бо 2² = 4, (-2)² = 4.

Арифметичний квадратний корінь

Арифметичнім квадратним коренем із числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають так: . Знак  називають знакам арифметичного квадратного кореня, вираз, який стоїть під знаком кореня. — підкореневим виразом. Запис  читають так: «квадратний корінь із а» (слово «арифметичний» при читанні опускають).

Отже,  = b, b  0 означає b² = а.

Якщо а < 0, то вираз  не має змісту.

Наприклад:  = 4, бо 4² = 16;  = 15, бо 15² = 225.

З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що при невід’ємних значеннях а справедлива рівність ()² = а.

Якщо а  0, то  = а. Якщо а < 0, то  = -а. Отже.

 = |a| = 

Властивості арифметичних квадратних коренів

1. Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників:

 =  ∙ , де а  0, b  0.

Якщо а  0, b > 0, то  ∙  = .

Наприклад:  =  ∙  = 8 ∙ 0,2 = 1,6;  ∙  =  =  = 4.

2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню із чисельника, діленому на корінь зі знаменника:

 = , де а  0, b > 0.

Якщо а  0, b > 0, то  = .

Наприклад:  =  = ,  =  =  = 4.

3. Внесения множника під знак квадратного кореня:

а) b = , при b  0;

б) b =, при b < 0;

4. Винесення множника з-під знака кореня:

a)  = b, при b  0;

б)  = -b, при b < 0.

Ірраціональні числа

Числа, які не можна подати у вигляді , де m ∈ Z, n ∈ N, називають ірраціональними.

Наприклад, числа ,,, , е — ірраціональні числа.

Запис ірраціональних чисел у вигляді десяткового дробу

Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Наприклад:  = 1,4142135...

 = 3,1415926...

е = 2,71828182...

Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є записом деякого ірраціонального числа.

Дійсні числа, їх запис у вигляді десяткового дробу

Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, яку позначають символом R. Кожне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним, і дійсним. Кожне ціле число є також раціональним і дійсним.

Наприклад: усі числа , -3, 0, , - — дійсні; перші три — раціональні; два останні — ірраціональні; -3, 0 — цілі.

Будь-яке дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу.

Наприклад:  = 0,5 = 0,500…, = 0,3333…,  = 3,1622776… .

Будь-який нескінченний десятковий дріб є записом деякого дійсного числа

Виконайте тест 10

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Укажіть правильне твердження.

А	Б	В	Г	Д
найменшого натурального числа не існує	Кожне дійсне число є раціональним	кожне раціональне число є цілим	кожне просте число є непарним	кожне раціональне число є дійсним

2. Значення якого з поданих виразів дорівнює 1?

А	Б	В	Г	Д

3. Яке з поданих чисел є найбільшим?

А	Б	В	Г	Д
4,(62)	3,(3)	-2,75	-2,(63)	4,623

4. Значення якого з поданих виразів дорівнює 14?

А	Б	В	Г	Д
∙	8 ∙	∙	∙	7 ∙

5. Знайдіть наближене значення виразу а + b, де а = 1,0539... і b = 2,0610.... попередньо округливши а і b до тисячних.

А	Б	В	Г	Д
3,113	3,114	3,115	3,116	3,117

6. Між якими цілими послідовними числами міститься число ?

А	Б	В	Г	Д
5 і 6	6 і 7	7 і 8	8 і 9	9 і 10

7. Яке з наведених тверджень неправильне?

А	в	В	Г	Д
сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом	сума двох простих чисел може бути простим числом	частка двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом	добуток двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом	добуток раціонального та ірраціонального чисел може бути раціональним числом

8. Спростіть вираз -5у⁶ , якщо у < 0.

А	Б	В	Г	Д
-5у7	-5у8	5у8	5у7	5у12

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між виразами (1—4) та їхніми числовими значеннями (А—Д).

1	∙	А	2
2	∙	Б	4
3		В	5
4	∙	Г	9
		Д	26

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть значення виразу ² + ².

11. Знайдіть значення виразу  + .

12. Знайдіть значення виразу  ∙ ( +1).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.