Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 12. ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

Поняття функції. Способи задания функції.

Область визначення і область значень функції

Числовою функцією з областю визначення називають залежність, згідно з якою кожному числу х із множини відповідає за деяким правилом єдине число у із множини Е (рис. 1).

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументам функції, а змінну у — залежною змінною, або функцією.

Функцію позначають латинськими буквами fgh,... (або (x), (x), (x),...) або рівностями у = f(x), у = (x), у = (x),... .

Якщо задане конкретне значення незалежної змінної x = x0, то у0 = f(x0) називається значенням функції у точці x0.

Рис. 1

Наприклад: якщо f(x) = , то f(1) =  = f(0) =  = 0, f(a) = .

Область визначення функції позначають D (f(від англ. define — визначити). Множина, що складається з усіх чисел f(x) таких, що ж належить області визначення функції f,називається областю значень функції і позначається Е (f) (від англ. exist — існувати).

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого залежно від часу подано в таблиці:

Таблиця

Час доби, ж (год)

9

12

15

18

21

24

Температура тіла, у = f(x) (С°)

39

38,5

38,3

37,3

37,1

37

Залежність у = f(x) є функцією, де x — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f(9) = 39; f(12) = 38,5; f(15) = 38,3; f(18) = 37,3; f(21) = 37,1; f(24) = 37.

D(f) = {9; 12; 15; 18; 21; 24}.

E(f)= {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу x.

Наприклад: якщо кожному значенню ж із множини дійсних чисел відповідає квадрат цього числа, то функцію можна записати у вигляді формули: у = x2, або f(x) = x2.

Областю визначення функції y = f(x), яка задана формулою, називають множину тих значень, яких може набувати ж, тобто таких ж, за яких формула має зміст (усі дії, указані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція є многочленом у = аnxn + аn-1xn-1 +... + а1x + а0, то (у) = (∞; +∞) = RНаприклад: якщо у = x2 + 2x + 1, то (у) = R.

2. Якщо функція має вигляд у = де f(x) і (x) — многочлени, то слід вважати (x) ≠ 0 (знаменник дробу не дорівнює 0).

Наприклад: якщо у = то x2 -1 ≠ 0. Тоді ≠-1 і x ≠ 1. Oтже, D(у) = (∞; -1 )(-1; 1)(1;+∞).

3. Якщо функція має вигляд у = , то слід вважати f(X) ≥ 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).

Наприклад: якщо у = то 5 + х ≥ 0, х ≥ -5, тобто (у) = [-5; +∞).

Графік функції

Графіком функції у = f(х) називають множину всіх точок площини з координатами (х; f(х)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(X), а друга — це відповідні значення функції у точці х (рис. 2).

Рис. 2

Зростання і спадання функції

Функція у = f(х) є зростаючою (рис. 3), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції як таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(X1) < f2) (або у1 < у2), і навпаки, якщо у = f(х) — зростаюча, то за умови f(x1) < f(x2) виконується нерівність x1 < x2.

Рис. 3

Функція у = f(х) є спадною (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції як таких, що х1 < х2, виконується нерівність f1) > f2) ( або у1 > у2), і навпаки, якщо у = f(х) — спадна, то за умови f1) > f2) виконується нерівність x1 < х2.

Рис. 4

Періодичність функції

Функцію у = f(х) називають періодичною з періодом Т ≠ 0. якщо для будь-якого х з області визначення числа х + і х - T також належать області визначення і виконується рівність: f(х + T) = f(х - T) = f(х) (рис. 5).

Рис. 5

Якщо функція у = f(х) — періодична з найменшим додатним періодом Т, то функція y = f(kx + b) теж періодична, і найменший додатний період її дорівнює  (k≠0).

Парні та непарні функції

Функція у = f(х) є парною, якщо для будь-якого значення х із D (y) значення -х також належить (у) і виконується рівність f(-х) = f(х). Графік парної функції симетричний відносно осі OY (рис. 6).

Рис. 6

Приклад 1. Чи є парною функція f(х) = х4 + х2?

Оскільки D(f) = і f(-x) = (-х)4 + (-х)2 = х4 + х2 = f(х), то функція парна Приклад 2. Чи є парною функція f(х) = х2 +х?

Оскільки (f) = Rале f(-х) = (-х)2 + (-х) = х- х ≠ f(х), то функція не є парною.

Функція y = f(x) є непарною, якщо для будь-якого значеннях із (у) значення -х ∈ D(y) і виконується рівність f(-х) = -f(х). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 7).

Рис. 7

Приклад 3. Чи є непарною функція f(х) = х- х5?

Оскільки D (f) = і f(-х) = (-х)3 - (-х)5 = -х3 + x5 = -(х3 - x5) = -f(х), то функція є непарною.

Приклад 4. Чи є непарною функція f(х) = х- х2?

Оскільки D(f) = R i f (-х) = (-х)3 - (-х)2 = -х3 - х2 = -(х3 + х2) ≠ -(х) = -х3 + х2, то функція не є непарною.

Графіки деяких функцій та їх основні властивості

Функцій у = kх

Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є непарною.

3. Для х ∈ R функція зростає, якщо > 0 (рис. 8); спадає, якщо < 0 (рис. 9).

4. Область значень: R.

5. Графік — пряма, що проходить через початок координат.

Рис. 8

Рис. 9

Функція у = b

Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною. Якщо b = 0, то функція і парна, і непарна.

3. Для х ∈ функція стала

4. Область значень: {b}.

5. Графік — пряма, паралельна осі х, якщо ≠ 0, і пряма що збігається з віссю x, якщо b = 0.

6. Функція періодична, будь-яке число є періодом. Найменшого додатного періода не має.

Рис. 10

Функція y =  (y = ∈ N≠ 0)

Властивості

1. Область визначення: х ∈ (-∞; 0) (0; +∞).

2. Функція є непарною.

3. Якщо > 0, функція спадає на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; +∞) (рис. 11). Якщо < 0 функція зростає на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; +∞) (рис. 12).

4. Області, значень: (-∞; 0)  (0; +оо).

5. Графік функції — гіпербола.

Рис. 11

Рис. 12

Функцій = ах2 (у = ах2n, а ≠ 0∈ N)

Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною.

3. Якщо а > 0, функція спадає на проміжку (∞; 0], зростає на проміжку [0; +∞) (рис. 13). Якщо а < 0, функція зростає на проміжку (-∞; 0], спадає на проміжку [0; +∞) (рис. 14).

Рис. 13

Рис. 14

4. Область значень: якщо а > 0, то у ∈ [0; +∞); якщо а < 0, то у є (-∞; 0].

5. Графік функції—парабола

Функція у = aх3(у = аx2n+1, а ≠ 0, ∈ N)

Властивості

1. Область визначення: R

2. Функція є непарною.

3. Для х ∈ R функція зростає, якщо а > 0 (рис. 15); спадає, ЯКЩ< 0  (рис. 16).

4. Область значень: R.

5. Графік функції — кубічна парабола.

Рис. 15

Рис. 16

Функція у = |x|

Властивості

1.  Область визначення: R

2.  Функція є парною.

3. На проміжку (-∞; 0] функція спадає; на проміжку [0; +∞) функція зростає (рис. 17).

4.  Область значень: [0; +∞).

Рис. 17

Функція у = (y = k ≠ 0, ∈ N)

Властивості

1. Область визначення: х ∈ (-∞; 0)  (0; +∞).

2. Функція є парною.

3. Якщо > 0, функція зростає для  (-∞; 0); спадає для ∈ (0; +∞) (рис. 18); якщо < 0, функція спадає для х ∈ (-∞; 0); зростає для ∈(0; +∞) (рис. 19).

4. Область значень: якщо > 0, то у ∈ (0; +∞); якщо < 0, то у ∈ (-∞; 0).

Рис. 18

Рис. 19

Функція у = 

Властивості

1. Область визначення: [0; +∞).

2. Функція ні парна, ні непарна

3. На проміжку [0; +∞) функція зростає (рис. 20).

4. Область значень: [0; +∞).

Рис. 20

Перетворений графіків функцій

1. Щоб побудувати графік функції f(+ а), слід перенести графік функції f(А) уздовж осі Ох на а одиниць: вправо, якщо а < 0; вліво, якщо а > 0 (рис. 21).

Рис. 21

2. Щоб побудувати графік функції у = f(a) + b, слід перенести графік функції f(a) уздовж осі Оу на b одиниць: вверх, якщо > 0 або вниз, якщо b < 0 (рис. 22).

Рис. 22

3. Щоб побудувати графік функції у = -(х), слід графік функції y = f (х) симетрично відобразити відносно осі абсцис (рис. 23).

Рис. 23

4. Щоб побудувати графік функції у = f (-х), слід графік функції у = f(х) симетрично відобразити відносно осі ординат (рис. 24).

Рис. 24

5. Щоб побудувати графік функції y = |f(x)|, слід частину графіка функції y = f(x) У верхній півплощині і на осі абсцис залишити без змін, а замість частини графіка в нижній півплощині побудувати симетричну їй частину відносно осі Ох (рис. 25).

Рис. 25

6. Щоб побудувати графік функції у = (|x|), необхідно частину графіка функції у = f(х) у правій півплощині і на осі ординат залишити без змін, а замість частини в лівій півплощині побудувати симетричну тій, що в правій частині відносно осі Оу (рис. 26).

Рис. 26

7. Щоб побудувати графік функції у = f(kх), >0, слід:

1) при > 1 стиснути графік функції у = (х) до точки (0; 0) уздовж осі абсцис у разів (рис. 27);

Рис. 27

2) при 0 < < 1 розтягнути від точки (0; 0) графік функції y = f(x) уздовж осі абсцис у  разів (рис. 28).

Рис. 28

8. Щоб побудувати графік функції у = kf (x), > 0, слід:

1) при > 1 розтягнути графік функції у = f(x) від точки (0; 0) уздовж осі ординат у разів (рис. 29);

Рис. 29

2) при 0 < < 1 стиснути графік функції у = f(xдо точки (0; 0) уздовж осі ординат у  разів (рис. 30).

Рис. 30

Функція, обернена до даної

Функцію, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення, називають оборотною.

Наприклад: функція у = 2+ 1 — оборотна, а функція у = x(визначена на всій числовій осі) не є оборотною.

Рис. 31

Якщо функція задана формулою у = f(х), то для знаходження оберненої функції потрібно розв’язати рівняння f(x= у відносно х, а потім поміняти місцями x і у.

Наприклад: оберненою до функції у = 2x + 1 є функція у = .

Якщо рівняння f(x) = у відносно має більше ніж один корінь, то функція f(x) не має оберненої функції.

Наприклад: функція у = х2 + 1 оберненої функції не має.

Графіки даної функції і оберненої до неї симетричні відносно прямої у = х (рис. 31).

Наприклад: функції у = 2х + 1 і у = графіки яких симетричні відносно прямої у = х, є оберненими (рис. 32).

Якщо функція у = f(x) (рис. 31) зростає (спадає) на деякому проміжку, то вона оборотна. Функція, яка обернена до даної і визначена в області значень функції у f(x), також є зростаючою (спадною).

Якщо функція у = f(x) визначена на області визначення і має область значень Е, то обернена функція має область визначення Е і область значень D.

Рис. 32

Виконайте тест 12

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Задано функцію f(х) = Знайдіть f(0): f(1).

А

Б

В

Г

Д

-0,5

0

0,5

1

2

2. Знайдіть область визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

(-; +)

(-; 1)(1; +)

(--1)(-1; +оо)

(-1; 1)

[-1; 1]

3. Знайдіть області, визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

(-; +)

(-; 1)(1; +оо)

(-;-1)(-1;+ ∞)

(-1; 1)

[-1; 1]

4. Знайдіть області, визначення функції y = .

А

Б

В

Г

Д

[6; + ∞)

[-6; + ∞)

(-; 6]

(-; + ∞)

(-; -0]

5. На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції у = f(х). Укажіть функцію у = f(х).

А

Б

В

Г

Д

у = х + 3

y = x - 3

у = х + 2

у = -+ 1

у = х - 2

6. На рисунку зображено графік функції у = f(х), заданої на проміжку [-2; 4]. Знайдіть проміжок, на якому функція спадає.

А

Б

В

Г

Д

[-2; 4]

[-2; 0]

[-2; 2]

[0; 4]

[2; 4]

7. Функціям f(xвизначена на всій числовій прямій і є періодичною з найменшим додатним періодом 6. На рисунку зображено графік функції на відрізку [-3; 3]. Обчисліть f(6) ∙ f(8).

А

Б

В

Г

Д

-3

0

1

2

3

8. Функція у f(x— спадна, а = f(10), b = f(-10), с = f(0). Порівняйте а, b і с.

А

Б

В

Г

Д

а > > с

с > > а

а > с > b

> а > с

b > с > а

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено графік функції y = f(x). Установіть відповідність між властивостями функції (1—4) та проміжками (А—Д).

1

Область значень функції f(x)

А

[- 3; - 1)

2

Області, визначення функції f = f(x)

Б

(-1; 3)

3

Множина всіх значень х, при яких функція від’ємна

В

[-2; 1]

4

Множина всіх значень х, при яких функція додатна

Г

(0; 2]

   

Д

[- 3; 3]

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланк) А.

10. Розв’яжіть графічно рівняння  = x.

11. Знайдіть значення функції у = .

якщо значення аргументу дорівнює 1.

12. Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції у =  дорівнює 1.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.