АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 13. ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ, ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Лінійна функція y = kх + b

Лінійною називають функцію виду у = kх + b, де k і b — дійсні числа Основні властивості лінійних функцій подано в таблиці.

Лінійне рівняння з однією змінною

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ах = b, де х — змінна, а і b — числа.

Якщо а ≠ 0, то рівняння ах = b має єдиний корінь х = .

Наприклад: рівняння 5х = 6 має корінь х = 1,2.

Якщо а = 0, b ≠ 0, то рівняння ах = b не має коренів.

Наприклад: рівняння 0x- = 5 не має коренів.

Якщо а = 0, b = 0, то коренем рівняння ах = b є будь-яке число.

Деякі рівняння зводяться до розв’язування лінійних рівнянь. Розгляньмо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2 -  +  = 0.

Розв'язання

Щоб позбутися знаменників дробів, помножимо кожний член рівняння на найменший спільний знаменник дробів, тобто на 20, і отримаємо:

2 ∙ 20 -  ∙  +  ∙  = 0 ∙ 20, 40 – 5(3x - 4) + 4(x+18) = 0.

Розкриємо дужки:

40 - 15x + 20 + 4X + 72 = 0.

Залишимо члени зі змінними в лівій частині рівняння, а члени без змінних перенесемо в праву частину (змінивши знаки членів на протилежні):

-15x + 4а = -40 - 20 - 72.

Зведемо подібні доданки:

-11X = -132, звідси x = -132 : (-11), x = 12.

Відповідь: 12.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння (2X - 6)(X + 2) = 0.

Розв’язання

Якщо добуток кількох множників дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю. Скористаємося цим фактом при розв’язуванні даного рівняння.

Ліва частина рівняння —добуток невідомих множників 2x - 6 і x + 2, а права частина— нуль. Щоб розв’язати це рівняння, досить прирівняти до нуля множники 2x - 6 і x + 2 та розв’язати отримані рівняння. Отже, 2x - 6 = 0 або а + 2 = 0, тоді 2а - 6 = 0, 2x = 6, x = 6 : 2, x = 3 або x + 2 = 0, x = -2.

Відповідь: 3; -2.

Приклад3. Розв’яжіть рівняння |2x + 3| = 1.

Розв’язання

Згадаймо означення модуля:

|x| = 

Із точки зору геометрії |а| означає відстань від точки а, зображеної на координатній прямій, до початку координат (точки 0).

1- й спосіб.

Якщо 2x + 3 < 0, то за означенням модуля - (2X + 3) = 1, тоді 2X + 3 = -1, 2X = -3 - 1,2X = - 4, x = -2.

Якщо 2X + 3 ≥ 0, то за означенням модуля 2X + 3 = 1, тоді 2X + 3 = 1,2X = -3 + 1,2X = -2, x = -1.

Відповідь: -1; -2.

2- й спосіб.

Ураховуючи геометричний зміст модуля, рівність |2х + 3| = 1 означає, що відстань від точки 2X + 3 до початку координат дорівнює числу 1 (рис. 1), тобто

Рис. 1

1) 2х + 3 = -1,2x = -3 - 1,2х = -4,х = -2;

2) 2х + 3 = 1,2х = -3 + 1, 2х =-2,x = -1.

Відповідь: -1; -2.

Лінійні нерівності з однією змінною

Нерівності виду ах > b, ах < b, ах ≥ b, ах ≤ b, де а, b — деякі числа ах—змінна, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

Розглянемо нерівність ах > b.

1. Якщо а > 0, то х > . Наприклад: 3х > 6, х > 2.

2. Якщо а < 0, то х < . Наприклад: -2х > 4, х < -2.

3. Якщо а = 0, b < 0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R.

Наприклад: 0^х > - 5, х ∈ R.

4. Якщо а = 0, b > 0, то нерівність розв’язків не має.

Наприклад: нерівність 0_х > 5 не має розв’язків.

Розглянемо нерівність а_х < b.

1. Якщо a > 0, то х< . Наприклад:  х < 6, х < 12.

2. Якщо а < 0, то х > . Наприклад: - х < 6, х > -12.

3. Якщо а = 0, b < 0, то нерівність розв’язків не має.

Наприклад: нерівність 0^х < - 5 розв’язків не має.

4. Якщо а = 0, b > 0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R.

Наприклад: нерівність 0х < 5, х ∈ R.

У рівнянні, крім невідомого, яке потрібно знайти, можуть бути введені й інші букви.

Наприклад: а^х = 3 - а, (n + 2)^х = 2 + (n + 2).

Розгляньмо рівняння ах = 3 - а. яке залежно від значення змінної а матиме вигляд:

2х = 3 - 2, якщо а = 2;

0х = 3 - 0, якщо а = 0;

3х = 3 - 3, якщо а = 3 і т. д.

Змінну, яку потрібно знайти, будемо називати невідомою, іншу змінну — параметрам.

Розв'язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра треба встановити. чи має рівняння розв'язки, і якщо має, то знайти ці розв'язки, що, як правило, залежать від параметра. Розгляньмо приклади.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння х + 5 = а + 6 відносно х.

Розв’язання

Перетворивши рівняння, отримаємо х = а + 1.

Рівняння має єдиний розв’язок незалежно від значення параметра. Отже, х = а + 1.

Відповідь: а + 1.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння (а - 1 )х = 3 відносно х.

Розв'язання

Якщо а - 1 ≠ 0, тобто а ≠ 1, то рівняння має єдиний корінь х = .

Якщо а - 1 = 0, тобто а = 1, то рівняння набуває вигляду 0х = 3 і не має коренів.

Відповідь: при а ф 1 дане рівняння має єдиний корінь х = , а при а = 1 — коренів не має.

Приклад 6. Розв’яжіть нерівність х -  ≥ .

Розв’язання

Помножимо обидві частини нерівності на 4:

4x -  ∙  ≥  ∙ , 4x – 2(x+3)≥2x – 1.

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності: 4х - 2х - 6 > 2х - 1. Перенесемо члени нерівності зі змінними в ліву частину нерівності, а члени без змінних —у праву частину (змінивши знаки членів, які переносимо, на протилежні): 4х - 2х - 2х ≥ - 1 + 6, звідси маємо 0х ≥ 5. Отже, дана нерівність розв’язків не має.

Відповідь: нерівність розв’язків не має.

Системи лінійних рівнянь із двома змінними

Системи рівнянь розв’язують кількома способами: графічним, підстановки, додавання.

Розгляньмо приклади.

Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь  графічним способом.

Розв’язання

Побудуємо графіки рівнянь х + у = 5 або у = -х + 5 (пряма, яка проходить через точки (0; 5) і (5; 0)) та х - у = 1 або у = х - 1 (пряма, яка проходить через точки (0; -1) та (1; 0)) (рис. 2).

Ці графіки перетинаються в точці (3; 2).

Отже, розв’язком системи є пара чисел (3; 2).

Відповідь: (3; 2).

Рис. 2

Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба:

1) виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати графіки рівнянь системи;

2) побудувати графіки;

3) знайти координати точок (точки) перетину побудованих ліній. Ці координати і є розв'язками (розв'язком) системи рівнянь.

Зауваження. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь не є універсальним, оскільки не завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді важко точно встановити координат точки перетину побудованих графіків функцій, можливо вказати лише наближені значення. Тому, як правило, використовують алгебраїчні способи розв’язування систем рівнянь: спосіб підстановки, додавання.

Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь  способом підстановки.

Розв'язання

Із першого рівняння системи виразимо у через х: у = 6 - 2х. Одержаний вираз підставимо в друге рівняння системи:

4х - 3 ∙ (6 - 2x) = 2, звідси 4x - 18 + 6х = 2; 10x = 20; х = 2.

Одержане значення х підставляємо у вираз у = 6 - 2х;

у = 6 - 2 ∙ 2 = 2.

Отже, пара (2; 2) - розв’язок даної системи.

Відповідь: (2; 2).

Способом підстановки систему двох рівнянь із двома змінними розв’язують за таким порядком:

1) з одного рівняння системи виражаємо одну зі змінних через другу змінну і відомі величини;

2) знайдене значення підставляємо в друге рівняння системи, одержуємо рівняння відносно другої змінної;

3) розв'язуємо одержане рівняння і знаходимо значення цієї змінної;

4) підставляючи знайдене значення у вираз для першої змінної, одержуємо відповідне її значення;

5) записуємо відповідь.

Зауваження. Спосіб підстановки, як правило, використовують, якщо коефіцієнт при одній зі змінних в одному з рівнянь системи дорівнює 1.

Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь  способом додавання.

Розв'язання

Помножимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге — на 2 (це дає змогу при додаванні рівнянь позбавитися від змінної у):

Додавши почленно рівняння, одержуємо 19x = 19, звідси х = 1 (значення у знайдемо з першого рівняння системи: 3 ∙ 1 + 2у = 5, 2у = 2, у = 1, отже, (1; 1) — розв’язок системи).

Значення у можна знайти, якщо помножимо почленно перше рівняння на -5, а друге — на 3:

Додавши почленно рівняння, одержуємо:

-19у = -19, у= 1.

Отже, пара(1; 1) є розв’язком даної системи.

Відповідь: (1; 1).

Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом алгебраїчного додавання виконують за таким порядком:

1) урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом почленного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином:

2) додаючи (або віднімаючи) почленно рівняння системи, виключаємо одну зі змінних:

3) розв'язуємо одержане рівняння з однією змінною;

4) значення другої змінної можна знайти таким же способом (або підстановкою знайденого значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи);

5) записуємо відповідь.

Зауваження. Спосіб додавання, як правило, використовують, якщо коефіцієнти при одній зі змінних у рівнянні системи — протилежні числа. Спробуйте усно розв’язати способом додавання систему в прикладі 1.

Системи лінійних нерівностей з однією змінною

Розглянемо приклади розв’язування систем нерівностей.

Приклад 10. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв'язання

Маємо   

Зображаємо на числовій прямій множини розв’язків кожної з нерівностей (рис. 3).

Рис. 3

Обидві нерівності справедливі при х ≤ -1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х ≤-1,5 або у вигляді числового проміжку (-∞; -1,5].

Відповідь: (-∞; -1,5].

Приклад 11. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв'язання

Маємо   

Використовуючи числову пряму, знайдемо спільні розв’язки нерівностей х >  і х >  (рис. 4).

Рис. 4

Бачимо, що множина розв’язків системи складається із чисел, які задовольняють умові х > , тобто є числовим проміжком (;+∞).

Відповідь: (;+∞).

Приклад 12. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв'язання

Маємо   

Використовуючи числову пряму (рис. 5), знаходимо, що спільних розв’язків нерівності х > 0 і х < - 0,2 не мають. Отже, дана система розв’язків не має.

Рис. 5

Відповідь: розв’язків не має.

Приклад 13. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв’язання

Маємо   

Розв’язком першої і другої нерівностей є числова пряма (-∞; +∞). Отже, розв’язком даної системи є будь-яке число х.

Відповідь: (-∞; +∞).

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність (а - 3)(2 - а) > 0.

Розв'язання

Добуток двох множників невід’ємний, коли обидва множники або невід’ємні, або недодатні. Тому розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:  або 

Тоді маємо:  або 

Оскільки перша система не має розв’язків, а розв’язком другої системи є проміжок [2; 3], то дана система має множину розв’язків — [2; 3]. Відповідь: [2; 3].

Приклад 15. Розв’яжіть нерівність  < 0.

Розв'язання

Дріб від’ємний, коли значення чисельника і знаменника мають протилежні знаки, тому розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:  або 

Тоді маємо:  або 

Оскільки друга система не має розв’язків, а розв’язком першої системи є проміжок (-1; 1), то дана система має множину розв’язків — (-1; 1).

Відповідь: (-1; 1).

Виконайте тест 13

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильні; на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Розв’язком якого з наведених рівнянь є будь-яке число?

А	3(2X + 3) - 2(3x - 2) = 0
Б	3(2x + 3) + 2(3x - 2) = 0
В	3(2x - 2) - 2(2x - 3) = 0
Г	3(2x - 2) + 2(2x - 3) = 0
Д	3(2x + 3) - 3(2x + 3) = 0

2. Розв’яжіть рівняння |x + 5| = 6 та знайдіть суму його коренів.

А	Б	В	Г	Д
-12	-11	-10	10	12

3. Скільки розв’язків має рівняння ||x|-5| = 1?

А	Б	В	Г	Д
жодного	один	два	три	чотири

4. Розв’яжіть рівняння  -  =  -  та укажіть, якому з наведених проміжків належить його корінь.

А	Б	В	Г	Д
(- 6; - 3)	(-3; 0)	(0; 2)	(2; 4)	(4; 6)

5. При якому значенні параметра а рівняння (а² - 9)х = (а - 1 )(а + 3) не має коренів?

А	Б	В	Г	Д
а =-3	а = -1	а = 3	а = 3 і а = -1	а = 1 і а = -3

6. Розв’яжіть нерівність 2(3 - х) - 3(2 + х) ≤ х.

А	Б	В	Г	Д
[0;+∞)	(-∞; 0]	[-5; +∞)	(∞;-5]	(-1;+∞)

7. Розв’язком якої з поданих нерівностей є множина всіх дійсних чисел?

А	Б	В	Г	Д
0x ≤ - 6	0x > 6	0x ≤ 0	0x > 0	0x < 0

8. Розв’яжіть нерівність х — ≤ .

А	Б	В	Г	Д
	(-∞;5]	[5;+∞)	[-5;+∞)	[1;+∞)

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку; варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між нерівністю (1—4) та її розв’язком (А—Д).

1	8х + 2 < 9х - 3	А	(-∞;]
2	6у + 8 ≤ 10у - 8	Б	(-∞;4)
3	3 – 11у ≥ - 3у + 6	В	[4;+∞)
4	3m – 1 ≤ 1,5m + 5	Г	(5;+∞)
		Д	(-∞;4]

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розв’яжіть рівняння  -  = .

11. На першому складі — 51 т вугілля, а на другому— 12 т. Скільки тонн вугілля треба перевезти з першого складу на другий, щоб на першому складі стало вугілля вдвічі більше, ніж на другому?

12. Вкладник зняв із рахунку в банку 20% усіх грошей, а через годину — 30 % залишку. Після цього на його рахунку залишилося 280 грн. Яким був початковий вклад (у грн)?

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.