Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 14. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ, КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Квадратична функція у = ах2 + bх + с

Квадратичною називають функцію виду у = ах2 + bх + с; де а, b, с — дійсні числа, причому а ≠ 0. Основні властивості квадратичних функцій подано в таблиці.

Таблиця 1

Квадратне рівняння

Квадратним називають рівняння виду ах + bх + с = 0, де х — змінна; а, b, с — числа, причому а  0. Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, b — другим коефіцієнтом, с — вільним членом.

Квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт дорівнює числу 1, називають зведеним квадратним рівнянням.

Квадратне рівняння, у якого хоча б один із коефіцієнтів — b або с — дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням.

Неповне квадратне рівняння ваду ах2 + bх = 0

Рівняння виду ах2 + bх = 0 завжди має два корені: 0 і -.

Такі рівняння, як правило, розв’язують

розкладанням його лівої частини на множники. Наприклад: 5х2 - 15х = 0; 5х(х - 3) = 0.

х1 = 0 і х2 = 3.

Неповне квадратне рівняння виду ах2 + с = 0

Якщо - > 0.

то рівняння виду ах2 + с = 0 має два корені: -  та  .

Наприклад: 4х2 - 9 = 0; 4х2 = 9, хx1 =  i x2 = -, тобто х1 = 1 і х2 = -1.

Якщо - < 0, то рівняння виду ах2 + с = 0 не має коренів.

Наприклад: 4х2 + 9 = 0, х2 = - коренів немає.

Якщо - = 0.

то рівняння виду ах2 + с = 0 має один корінь: х = 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Вираз D = b2 - 4ас називають дискримінантом квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0.

Якщо > 0, то квадратне рівняння має два корені; якщо 0 = 0 — то один корінь; якщо D < 0, то квадратне рівняння коренів не має.

Корені квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0 при  0 знаходять за формулою

x1,2 .

Для квадратного рівняння виду ах2 + 2kх + с = 0 формула коренів має вигляд

x = .

Для зведеного квадратного рівняння виду х2 + рх + = 0 формула коренів має вигляд

x1,2 =   -q.

Квадратний тричлен

Квадратним тричленом називають многочлен виду ах2 + bх + с, де х — змінна; а, b, с — деякі дійсні числа, причому а ≠ 0.

Напри клад: вирази 3х2 - х + 5; х2 - 3х + 4; х2 + 1 — квадратні тричлени.

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

Наприклад: коренем тричлена 3х2 - 2х - 5 є число -1, бо при х = -1 маємо 3 ∙ (-1)- 2 ∙ (-1) - 5 = 0. Квадратний тричлен ax2  bxс має не більше двох коренів:

1) якщо D = b- 4ас < 0, то квадратний тричлен не має коренів;

2) якщо b2 - 4ас = 0, то квадратний тричлен має два рівних корені x1 = х2 = ;

3) якщо D = b2 - 4ас > 0, то квадратний тричлен має два різних корені x1,2 = .

Число b2 - 4ас називають дискримінантам квадратного тричлена.

Теореми Biєта

Якщо х1 і х2 — корені квадратного тричлена ах2 + bх + с, то виконуються рівності x1 + x2 = - та x1 ∙ x2 = .

Розкладання квадратного тричлена на множники

Якщо D = b2 - 4ас > 0, то виконується рівність

ах2 + bх + с = а(х - x1)(х – х2), де x1 і х2 — корені квадратного тричлена.

Доведення

Згідно з теоремою Вієта маємо x1 + х2 =-x1x2 = .

Тоді ах2 + bх + с = a(x22 + x + = а(х2 - (х1 + х2 )х + х1х2 )=

= а(хx1x - х2х + x1x2) = а (х(х - x1) -  х2 (х - x1)) = a(х - x1)(х - х2).

Якщо b2 - 4ас = 0, то виконується рівність ах2 + bх + с = а(х - х1)2. Якщо b- 4ас < 0, то квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники у множині дійсних чисел.

Розв'язування нерівностей другого степеня з однією змінною

Нерівність, лівою частиною якої є квадратний тричлен ах2 + bх + с, де а ≠ 0; b, с — дані числа, а правою — нуль, називають квадратною.

Наприклад: нерівності х- 5х + 3 < 0; х- 3х + 2 ≤ 0; 2х- 3х + 2 ≥ 0; 3х- 2х + 1 > 0 є квадратними, або нерівностями друг ого степеня з однією змінною.

Розв’язати нерівність другого степеня з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Під час розв’язування квадратної нерівності знаходять проміжки, у яких відповідна квадратична функція набуває додатних, від’ємних, недодатних, невід’ємних значень.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність х2 + 2х - 48 < 0.

Розв'язання

Графік функції у = х2 + 2х - 48 — парабола, вітки якої напрямлені вгору. Знайдемо нулі функції, для цього розв’яжемо рівняння х2 + 2х - 48 = 0. Корені цього рівняння дорівнюють x1,2 =  = x1 = 6 i x2 = -8.

Отже, парабола перетинає вісь х у двох точках, абсциси яких дорівнюють -8 і 6.

На рис. 1 видно, що функція набуває від’ємних значень, коли х належить проміжку (-8; 6). Значить, розв’язком нерівності х2 + 2х - 48 < 0 є числовий проміжок (-8; 6).

Відповідь: (-8; 6).

На рис. 1 видно, що:

1)     розв’язками нерівності х2 + 2х - 48 ≤ 0 є всі числа проміжки [-8; 6];

2) розв’язками нерівності х2 + 2х - 48 > 0 є всі числа проміжків (-∞; -8) або (6; +∞), тобто об’єднання проміжків (-∞; -8)(6; +∞);

3) розв’язками нерівності х2 + 2х - 48 ≥ 0 є об’єднання проміжків (-∞;-8][6; +∞).

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність 25х2 + 30х + 9 > 0.

Рис. 1

Розв'язання

Розглянемо функцію у = 25х2 + 30х + 9 = (5х + 3)2. Її графік — парабола, вітки якої напрямлені догори (рис. 2). Розв’яжемо рівняння (5х + 3)2 = 0, звідси х = -0,6. Рівняння має єдиний корінь. Отже, парабола дотикається осі ОХ. На рис. 2 видно, що функція набуває додатних значень при будь-яких х, окрім - 0,6.

Відповідь: (-∞; - 0,6)(- 0,6; + ∞).

Із рис. 2 випливає також, що:

1) розв’язком нерівності 25х2 + 30х + 9 ≥ 0 є всі дійсні числа;

2) нерівність 25х2 + 30х + 9 ≤ 0 має один розв’язок: х = -0,6;

3) нерівність 25x2 + 30х + 9 < 0 розв’язків не має.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність -х2 + х - 1 < 0.

Розв'язання

Графік функції у = -х2 + х - 1 — парабола, вітки якої напрямлені вниз. Рівняння -х2 + х - 1 =0 дійсних коренів не має, тому парабола не перетинає вісь ОХ. Отже, вона розташована нижче осі ОХ (див. рисунок 3). Це означає, що значення квадратичної функції при всіх х — від’ємні, тобто нерівність -х2 + х - 1 < 0 виконується при всіх дійсних числах (-∞; +∞).

Відповідь: (-∞; +∞).

Рис. 2

Рис. З

На рис. З видно також, що:

1) розв’язками нерівності -х2 + х - 1 < 0 є множина всіх дійсних чисел R:

2) нерівності -х2 + х - 1 > 0 та -х2 + х - 1 ≥ 0 розв’язків не мають.

Із розглянутих прикладів можна зробити висновок, що для розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків треба:

1) визначити напрям вітів параболи за знаком першого коефіцієнта квадратичної функції у = ах2 + bх + с (якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені догори, якщо а < 0, то вниз);

2) знайти дійсні корені квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0 або встановити, що їх немає;

3) схематично побудувати графік квадратичної функції, використовуючи точки перетину (точки дотику) із віссю ОХ, якщо вони є;

4) за графіком визначити проміжки, на яких функція набуває значень, при яких виконується задана нерівність.

Квадратні нерівності можна розв'язувати методом інтервалів.

Розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів Розглянемо розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів на прикладі.

Приклад 1. Знайдіть, при яких значеннях х квадратний тричлен х2 - 5х + 6 набуває додатних значень, а при яких — від’ємних.

Розв'язання

Розкладемо квадратний тричлен х2 - 5х + 6 на множники

х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3).

Точки х = 2 і х = 3 (див. рис. 4) поділяють числову пряму на три проміжки: (-∞; 2); (2; 3); (3; +∞).

Рис. 4

Вираз (х - 2)(х - 3) є добутком двох множників. Знак кожного з цих множників та їх добутку подамо у вигляді табл. 2.

Таблиця 2

Проміжки \Множники

(-∞; 2)

(2; 3)

(3; +∞)

х - 2

 

+

+

х - 3

   

+

(х - 2)(х - 3)

+

-

+

Рухаючись уздовж числової осі зліва направо, ми бачимо, що на проміжку (-∞; 2) квадратний тричлен х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3) набуває додатних значень, оскільки в цьому випадку обидва множники х - 2 і х - 3 є від’ємними.

На проміжку (2; 3) цен тричлен набуває від’ємних значень і, отже, при переході через точку х = 2 змінює знак. Це відбувається тому, що в добутку (х - 2)(- 3) при переході через точку х = 2 перший множник х - 2 змінює знак, а другий множник х - 3 — ні.

При переході через точку = 3 тричлен знову змінює знак, оскільки в добутку (х - 2)(х - 3) перший множник х - 2 не змінює знак, а другий множник х - 3 змінює.

Отже, рухаючись уздовж числової прямої, ми спостерігаємо, як змінюється знак добутку (х - 2)(- 3).

Таким чином, задачу про знак квадратного тричлена х2 - 5х + 6 можна розв’язати у такий спосіб.

Позначити на числовій прямій корені рівняння x2 - 5х + 6 = 0, тобто точки х = 2, х = 3. Вони поділяють числову пряму (рис. 5) на три проміжки. На проміжку (-∞; 2) значення тричлена х2 - 5х + 6 додатне, тому розставляємо його знаки на останніх проміжках, ураховуючи чергування знаків.

Рис. 5

На рис. 5 видно, що x2 - 5x + 6 > 0 на проміжку (-∞; 2)(3; +∞), а на проміжку (2; 3) - x2 - 5x + 6 < 0.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність 2X2 - 3- 5 ≥ 0.

Розв'язання

Знайдемо корені квадратного тричлена 2x2 - 3х - 5:

х1,2  = ; х1 =  = 2; х2 = -1.

Наносимо на числову пряму точки -1 і 2, які поділяють її на три проміжки (див. рис. 6). Визначаємо знак тричлена 2x2 - 3х - 5 на проміжку (∞; -1), він на цьому проміжку додатний. Знаходимо знаки тричлена на інших проміжках.

Рис. 6

Отже, 2x2 - 3x - 5 ≥ 0, якщо ,х належить об’єднанню проміжків (-оо; -1] 2;+∞).

Відповідь: (-∞; -1](2;+∞).

Виконайте тест 14

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки коренів має рівняння 6х2 + 13х + 10 = 0?

А

Б

В

Г

Д

жодного

один

два

три

безліч

2. Яке з наведених рівнянь має два різних корені?

А

Б

В

Г

Д

х2 - 3х + 4 = 0

х2 - 3х + 2 = 0

х2 - 2x + 2 = 0

х2 - 2х + 1 = 0

х2 + 3х + 3 = 0

3. Добуток коренів рівняння 3x2 - 16+ 6 = 0 дорівнює

А

Б

В

Г

Д

-16

2

-6

6

16

4. Розв’яжіть рівняння х2 - 10x - 24 = 0 та знайдіть різницю між більшим і меншим коренями.

А

Б

В

Г

Д

-10

-14

0

14

10

5. Користуючись графіком функції у = х2 - 4х + 3, розв’яжіть нерівність х2 - 4х + 3 < 0.

А

Б

В

Г

Д

(∞; 1)

(3; +∞)

(-∞; 1 )(3; +∞)

(1; 3)

(-∞; 2)

6. Укажіть пару рівносильних нерівностей.

А

 ≥ 0 та (х - 3)(х + 1) ≥ 0

Б

 ≤ 0 та (х + 5)(х - 8) ≥ 0

В

 > 0 та (х + 3)(х - 1) > 0

Г

 ≤ 0 та (х - 5)(х + 8) ≥ 0

Д

 ≥ 0 та  ≥ 0

7. Знайдіть область визначення функції y = .

А

Б

В

Г

Д

(∞;1)(3; +∞)

(∞;1][3; +∞)

(1; 3)

[1; 3]

(—∞;+∞)

8. Схематично зобразіть графіки рівнянь і з’ясуйте, яка із систем не має розв’язків.

А

Б

В

Г

Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між указаними геометричними перетвореннями (1—4) графіка функції у = x2 + 1 та відповідними функціями (А—Д).

1

Якщо графік функції у = x2 + 1 перенести на одиницю вправо вздовж осі ОХ, то отримаємо графік функції

А

у = x2

2

Якщо графік функції у = х2 + 1 перенести на одиницю вниз уздовж осі ОY, то отримаємо графік функції

Б

у = x2 + 2

3

Якщо графік функції у = x2 + 1 перенести на одиницю вліво вздовж осі ОХ, то отримаємо графік функції

В

y = (х- 1)+ 1

4

Якщо графік функції у = x2 + 1 перенести на одиницю вгору уздовж осі ОY, то отримаємо графік функції

Г

у = (+ 1)+ 1

   

Д

y = (+ 1)- 1

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. При якому значенні параметра к графіки функцій у = kх - 3 і у - х2 перетинаються в точці, абсциса якої дорівнює - 2?

11. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють  2 -  i 2 + . Укажіть коефіцієнт при х.

12. Серед коренів рівняння (x2 + х + 1 )(х2 + x + 3) = 15 укажіть найменший.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.