Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 15. РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Рівняння зі змінною в знаменнику

Рівняння  = 0 є рівносильним системі рівнянь 

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння  = 0.

Розвязання

 = 0;  

Отже, х = -3.

Відповідь: -3.

Раціональні рівняння

Рівняння f(х) = (х) називається раціональний, якщо f(х) і (х) — раціональні вирази.

Щоб розв’язати раціональне рівняння, потрібно:

1) знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння:

2) замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на спільний знаменник:

3) розв'язати одержане ціле рівняння:

4) виключити з коренів цілого рівняння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 1 +  -  = .

Рoзв'язання

1 +  -  = ; 1 ∙ (x2-1) +  ∙  -  ∙  =  ∙ ;

   

Отже, х = 2.

Відповідь: 2.

Дробові нерівності

Нерівність  > 0 рівносильна двом системам  або 

Нерівність  < 0 рівносильна двом системам  або 

Нерівність  ≥ 0 рівносильна двом системам  або 

Нерівність  ≤ 0 рівносильна двом системам  або 

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність  < 0.

Розв'язання  < 0;  або  тоді  або 

Звідси х∈(7; +∞) (рис. 1) або х∈(-∞; 2) (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Отже, x∈(-∞; 2)(7; +∞).

Відповідь: (-∞; 2 )( 7; =∞).

Розв'язування раціональних нерівностей методом інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0 (f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0), де f(x) =  треба:

1) зобразити числа а1, а2,..., аn на числовій прямій (ці числа розташовані в порядку зростання і поділяють числову пряму на декілька проміжків, на яких функція f(х) зберігає свій знак, тобто якщо аt і ak — сусідні точки, то для х є (at : ak функція зберігає знак);

2) визначити знаки функції (х) на кожному з проміжків;

3) записати відповідь, ураховуючи знак нерівності, даної в умові.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність  < 0.

Розв'язання

Позначимо на числовій прямій точки: х = - 4, х = - 2, х = 1, х = 3 та знайдемо знак функції f(x) =  на кожному проміжку (рис. 3).

Рис. 3

Відповідь: (-4;-2)(1; 3).

Метод інтервалів (узагальнений)

Використовується для розв’язування нерівностей f(х) > 0 (f(х) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Метод грунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати) (рис. 4).

Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:

1) знайти область визначення функції у = f (х);

2) знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти нулі функції): f(х) = 0;

3) розбити область визначення на проміжки, у яких кожний із кінців є коренем рівняння f(х) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції у = f(х);

4) визначити знак f(х) на кожному з утворених проміжків;

5) об'єднати проміжки, на яких функція f (х) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.

Рис. 4

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність  ≥ 0.

Розв'язання

Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо  ≥ 0.

Позначимо на числовій прямій точки 3; -1; 1; - 4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків (рис. 5). При х > 3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, тому дріб є додатним.

Рис. 5

При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки, як показано на рис. 5. Значення х = -1, х = 3 задовольняють дану нерівність, а прих = 1, х = -4 дріб не має змісту. Таким чином, дана нерівність має розв’язок (-∞; - 4)[-1; 1)[3; +∞).

Відповідь: (-∞; - 4)[-1; 1 )[3; +∞).

Виконайте тест 15

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки коренів має рівняння  = 0?

А

Б

В

Г

Д

жодного

один

два

три

безліч

2. Розв’яжіть нерівність х2 < х.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0)

(-∞; 1)

(-∞; 0)(1; +∞)

(0; 1)

(1; +∞)

3. Розв’яжіть нерівність  > 0.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 1)(1; +∞)

(1; +∞)

(-∞;1)

(1; 6)

(-∞; 1 )(6; +∞)

4. Розв’яжіть нерівність  ≥ 0.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0)(0; +∞)

[-2; +∞)

(-∞;-2](0; +∞)

[-2; 0)(0; +∞)

(-∞; -2)(-2; +∞)

5. Розв’яжіть нерівність  > 1.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0)(0; 1)

(-∞; 1)

(-∞;-1)(0; 1)

(-1; 1)

(-1;0)(0; 1)

6. Розв’яжіть нерівність  ≤ 0.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 1)(1; +∞)

(-;5]

(-∞; 1)(1; 5]

(1; 5]

(-∞; 1 )(5; +∞)

7. Розв’яжіть нерівність  ≤ 1.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0)

(∞; 5]

(-∞; 0)[5; +∞)

(0; 5]

[5; +∞)

8. Знайдіть область визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

(1; 4)

(-∞; 1)(4; +∞)

(-∞; 1)[4; +∞)

[1; 4]

(1; 4]

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між раціональними рівняннями (1—4) та кількістю їхніх розв’язків (А—Д).

1

=0

А

жодного

2

=0

Б

безліч

3

=0

В

три

4

=0

Г

один

   

Д

два

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розвяжіть систему рівнянь та запишіть у відповідь х0 + у0, де (х0; у0,) — розв’язок системи.

11. Розвяжіть систему рівнянь  та запишіть у відповідь х0 + у0, де (х0; у0) — розв’язок системи.

12. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності   0.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.