АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 16. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА І ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називають послідовність а₁, а₂, а₃, .... а_n,.... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d яке називають різницею арифметичної прогресії.

аn₊₁ = а_n + d, n ∈ N.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n,... — арифметична прогресія, у якій a₁ = 1, d = 1;

2, 4, 6, 2n,... — арифметична прогресія, у якій а₁ = 2, d = 2.

Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

а_n = а₁ + d (n - 1),

де n — номер члена, а_n — n-й член, а₁ — перший член, d — різниця прогресії.

Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

a_n = .

Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові a_n = , то ця послідовність є арифметичною прогресією.

Сума перших n членів арифметичної прогресії порівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

n = а₁ +а₂ +...+а_n =  ∙ n.

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

S_n =  ∙ n.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називають послідовність b₁, b₂, b₃, ...,b_n ... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме число q(q ≠ 0, |q| ≠ 1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

b_n+1 = b_n ∙ q, де q ≠ 0, |q| ≠ 1, n ∈ N.

Наприклад: 1, 3, 9, ..., 3^n-1,... —геометрична прогресія, у якій b₁ = 1, q = 3;

3, 1, , , , ..., 3^2-n,... — геометрична прогресія, у якій b₁ = 3, q = .

Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

b_n = b₁ ∙ q^n-1,

де n — номер члена, b_n — n-й член, b₁ — перший член, q — знаменник прогресії.

Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

|b_n| = .

Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові

|b_n| = ,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою

S_n =  b₁+ b₂ +... + b_n = b₁ ∙ .

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадна геометрична прогресія — це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q| < 1.

Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

S = b₁ + b₂ + b₃ +... + b_n + ...

є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n (n ─>∞).

Ця сума визначається за формулою S = .

Приклад. Обчисліть суму.

1 +  + +  + + … =  = 2

Відповідь: 2.

Виконайте тест 16

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Формулою n-го члена арифметичної прогресії 7, 9, 11, ... є

А	Б	В	Г	Д
2n + 1	3n + 1	2n + 5	2n + 3	2n - 1

2. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо a₁ = 7, a₁₆ = 67.

А	Б	В	Г	Д
-4	-2	2	4	5

3. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо а₁ = 2, а₂ = 5.

А	Б	В	Г	Д
147	149	151	153	155

4. Знайдіть суму перших двадцяти непарних натуральних чисел.

А	Б	В	Г	Д
410	400	220	210	200

5. Скільки додатних членів має арифметична прогресія 30, 26, 22,...?

А	Б	В	Г	Д
5	6	7	8	10

6. Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії 102, 95, 88.......................................................

А	Б	В	Г	Д
-3	-4	-5	-6	- 10

7. Знайдіть знаменник геометричної професії (b_n), якщо b₇ = - 4, b₈ = 2.

А	Б	В	Г	Д
-0,5	-2	-8	6	2

8. Дано геометричну прогресію (b_n), перший член якої b1 = 32 і знаменник q = -. Знайдіть b₄.

А	Б	В	Г	Д
-4	4	-2	2	-1

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між геометричною прогресією (1—4) та її знаменником (А—Д).

1	1; ; ; ; … .	А	-4
2	- ; 1; -12; 144; … .	Б
3	-2; 8; -32; 128; … .	В
4	1; ; ; ; … .	Г
		Д	-12

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Число 96 є членом геометричної прогресії , , , … .

Знайдіть номер цього члена.

11. Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо з першого числа відняти 30, з другого 4, з третього 2, а з четвертого 8, то вийде арифметична прогресія. Знайдіть перший член геометричної прогресії.

12. Знайдіть суму  +  +  + … + .

Якщо знайдена сума — ціле число, то у відповідь запишіть це число, якщо знайдена сума— нескоротний звичайний дріб, то у відповідь запишіть суму чисельника і знаменника цього дробу.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.