Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ
Тема 16. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА І ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ
Арифметична прогресія
Арифметичною прогресією називають послідовність а1, а2, а3, .... аn,.... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d яке називають різницею арифметичної прогресії.
аn+1 = аn + d, n ∈ N.
Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n,... — арифметична прогресія, у якій a1 = 1, d = 1;
2, 4, 6, 2n,... — арифметична прогресія, у якій а1 = 2, d = 2.
Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою
аn = а1 + d (n - 1),
де n — номер члена, аn — n-й член, а1 — перший член, d — різниця прогресії.
Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:
an = .
Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові an = , то ця послідовність є арифметичною прогресією.
Сума перших n членів арифметичної прогресії порівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:
n = а1 +а2 +...+аn = ∙ n.
Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою
Sn = ∙ n.
Геометрична прогресія
Геометричною прогресією називають послідовність b1, b2, b3, ...,bn ... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме число q(q ≠ 0, |q| ≠ 1), яке називають знаменником геометричної прогресії:
bn+1 = bn ∙ q, де q ≠ 0, |q| ≠ 1, n ∈ N.
Наприклад: 1, 3, 9, ..., 3n-1,... —геометрична прогресія, у якій b1 = 1, q = 3;
3, 1, ,
,
, ..., 32-n,... — геометрична прогресія, у якій b1 = 3, q =
.
Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою
bn = b1 ∙ qn-1,
де n — номер члена, bn — n-й член, b1 — перший член, q — знаменник прогресії.
Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:
|bn| = .
Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові
|bn| = ,
то ця послідовність є геометричною прогресією.
Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою
Sn = b1+ b2 +... + bn = b1 ∙ .
Нескінченно спадна геометрична прогресія
Нескінченно спадна геометрична прогресія — це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q| < 1.
Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії
S = b1 + b2 + b3 +... + bn + ...
є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n (n ─>∞).
Ця сума визначається за формулою S = .
Приклад. Обчисліть суму.
1 + +
+
+
+ … =
= 2
Відповідь: 2.
Виконайте тест 16
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Формулою n-го члена арифметичної прогресії 7, 9, 11, ... є
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2n + 1 |
3n + 1 |
2n + 5 |
2n + 3 |
2n - 1 |
2. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо a1 = 7, a16 = 67.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-4 |
-2 |
2 |
4 |
5 |
3. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо а1 = 2, а2 = 5.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
147 |
149 |
151 |
153 |
155 |
4. Знайдіть суму перших двадцяти непарних натуральних чисел.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
410 |
400 |
220 |
210 |
200 |
5. Скільки додатних членів має арифметична прогресія 30, 26, 22,...?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
6. Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії 102, 95, 88.......................................................
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
- 10 |
7. Знайдіть знаменник геометричної професії (bn), якщо b7 = - 4, b8 = 2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-0,5 |
-2 |
-8 |
6 |
2 |
8. Дано геометричну прогресію (bn), перший член якої b1 = 32 і знаменник q = -. Знайдіть b4.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-4 |
4 |
-2 |
2 |
-1 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між геометричною прогресією (1—4) та її знаменником (А—Д).
1 |
1; |
А |
-4 |
2 |
- |
Б |
|
3 |
-2; 8; -32; 128; … . |
В |
|
4 |
1; |
Г |
|
Д |
-12 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Число 96 є членом геометричної прогресії ,
,
, … .
Знайдіть номер цього члена.
11. Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо з першого числа відняти 30, з другого 4, з третього 2, а з четвертого 8, то вийде арифметична прогресія. Знайдіть перший член геометричної прогресії.
12. Знайдіть суму +
+
+ … +
.
Якщо знайдена сума — ціле число, то у відповідь запишіть це число, якщо знайдена сума— нескоротний звичайний дріб, то у відповідь запишіть суму чисельника і знаменника цього дробу.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.