Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 16. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА І ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називають послідовність а1, а2, а3, .... аn,.... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число яке називають різницею арифметичної прогресії.

аn+1 = аd∈ N.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n,... — арифметична прогресія, у якій a1 = 1, = 1;

2, 4, 6, 2n,... — арифметична прогресія, у якій а1 = 2, d = 2.

Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

аn = а1 + d (- 1),

де n — номер члена, аn — n-й член, а1 — перший член, d — різниця прогресії.

Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

an = .

Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові an = , то ця послідовність є арифметичною прогресією.

Сума перших n членів арифметичної прогресії порівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

= а1 +а2 +...+аn =  ∙ n.

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

Sn =  ∙ n.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називають послідовність b1b2b3, ...,b... кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме число q(q ≠ 0, |q| ≠ 1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

bn+1 = bn ∙ q, де ≠ 0, |q| ≠ 1,  N.

Наприклад: 1, 3, 9, ..., 3n-1,... —геометрична прогресія, у якій b1 = 1, = 3;

3, 1, ..., 32-n,... — геометрична прогресія, у якій b1 = 3, .

Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

bn b1 ∙ qn-1,

де — номер члена, bn — n-й член, b1 — перший член, — знаменник прогресії.

Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

|bn| = .

Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові

|bn| = ,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою

Sn =  b1+ b2 +... + bn = b1 ∙ .

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадна геометрична прогресія — це нескінченна геометрична прогресія, знаменник якої за модулем є меншим за 1, тобто |q< 1.

Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

b1 + b2 + b3 +... + bn + ...

є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n (─>∞).

Ця сума визначається за формулою S = .

Приклад. Обчисліть суму.

1 +  + +  + + … =  = 2

Відповідь: 2.

Виконайте тест 16

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Формулою n-го члена арифметичної прогресії 7, 9, 11, ... є

А

Б

В

Г

Д

2n + 1

3n + 1

2+ 5

2+ 3

2- 1

2. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо a1 = 7, a16 = 67.

А

Б

В

Г

Д

-4

-2

2

4

5

3. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо а1 = 2, а2 = 5.

А

Б

В

Г

Д

147

149

151

153

155

4. Знайдіть суму перших двадцяти непарних натуральних чисел.

А

Б

В

Г

Д

410

400

220

210

200

5. Скільки додатних членів має арифметична прогресія 30, 26, 22,...?

А

Б

В

Г

Д

5

6

7

8

10

6. Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії 102, 95, 88.......................................................

А

Б

В

Г

Д

-3

-4

-5

-6

- 10

7. Знайдіть знаменник геометричної професії (bn), якщо b7 = - 4, b8 = 2.

А

Б

В

Г

Д

-0,5

-2

-8

6

2

8. Дано геометричну прогресію (bn), перший член якої b1 = 32 і знаменник = -. Знайдіть b4.

А

Б

В

Г

Д

-4

4

-2

2

-1

У завданні до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між геометричною прогресією (1—4) та її знаменником (А—Д).

1

1; … .

А

-4

2

; 1; -12; 144; … .

Б

 

3

-2; 8; -32; 128; … .

В

 

4

1; … .

Г

 

   

Д

-12

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Число 96 є членом геометричної прогресії , … .

Знайдіть номер цього члена.

11. Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо з першого числа відняти 30, з другого 4, з третього 2, а з четвертого 8, то вийде арифметична прогресія. Знайдіть перший член геометричної прогресії.

12. Знайдіть суму  +  +  + … + .

Якщо знайдена сума — ціле число, то у відповідь запишіть це число, якщо знайдена сума— нескоротний звичайний дріб, то у відповідь запишіть суму чисельника і знаменника цього дробу.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.