Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ

Тема 18. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу sin2а + cos2а = 1, а∈R; tga ∙ ctga = l, а ≠ , n ∈ Z;

1 + tg2 а = , а ≠ + n, n∈Z; l + ctg2a = , а ≠ n, n∈Z.

Приклад 1. Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = - , < a < .

Розв'язання

Оскільки cos2 a = 1 - sin2 a, то cos = = = = = .

Оскільки кут a лежить у III координатній чверті, то cos a < 0.

Отже, cosa = -.

tga = = - : (-) = = ; ctga = = .

Відповідь: -; ; .

Формули додавання

sin(a±) =sinacos + cosasin; cos(a±P) = cosacos +sinasin;

tg(a±) = , a, , a + + n, n ∈ Z.

Формули подвійного кута

sin2a = 2sinacosа; cos2a = cos2 a - sin2 a;

tg2a = , a ≠ + , a ≠ + n, n ∈ Z.

Формули пониження степеня

sin2a = ; cos2a = ;

(sina + cosa)2 = 1 + sin2a.

Формули половинного кута

|cos| = ; |sin| = ; tg = = , a ≠ k, k∈Z;

ctg = = , a ≠ k, k∈Z; |tg| = , a ≠ k, k∈Z.

Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

sina + sin = 2sincos; sina - sin = 2sincos;

cosa + cos = 2coscos; cosa - cos = 2sinins;

tga + tg = , a, + n, n∈Z; tga — tg , a, + n, n∈Z;

ctga + ctg = , a,n, n∈Z; ctga — ctg , a,n, n∈Z;

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

sinasin = (cos(a - ) - cos(a + )); cos acos = (cos(a - ) + cos(a + ));

sinacos = (sin(а + ) + sin(a - )).

Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

sina = , a + n, n∈Z; cosa = , a + n, n∈Z;

tga = , a + n, a≠ + 2, n∈Z; ctga = , a , n∈Z;

Формули зведення

Кут\ Функція

- а

+ a

- a

+ a

- а

+ а

2 - a

2 + a

sinx

cos а

cosa

sina

-sina

-cosa

-cosa

-sina

sina

cosx

sin a

-sina

-cosa

-cosa

-sina

sina

cosa

cosa

tgx

ctg a

-ctga

-tga

tga

ctga

-ctga

-tga

tga

ctgx

tg a

-tga

-ctga

ctga

tga

-tga

-ctga

ctga

Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким правилом:

1) у правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < а < ;

2) якщо в лівій частині формули кут дорівнює a, a, то синус замінюється на косинус, тангенс— на котангенс і навпаки. Якщо кут дорівнює k ± а, то заміна не виконується.

Розглянемо приклади.

Приклад 2. Виразимо tg( - а) через тригонометричну функцію кута а. Якщо вважати, що а — кут І чверті, то - а буде кутом ІІ чверті. У II чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута k - а назва функції «тангенс» зберігається. Тому tg ( - а) = - tg а.

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого числа

можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .

Приклад 3. Знайдіть значення sin .

Маємо: sin = sin(2 + ) = sin = sin ( - ) = sin = .

Виконайте тест 18

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть значення виразу cos а, якщо sin а = 0,6 і < а < .

А

Б

В

Г

Д

-0,8

-0,6

0

0,6

0,8

2. Знайдіть значення виразу sin 18° cos 27° + cos 18° sin 27°.

А

Б

В

Г

Д

1

0

-1

3. Знайдіть значення виразу cos 32° cos 58° - sin 32° sin 58°.

А

Б

В

Г

Д

1

0

-1

4. Знайдіть значення виразу cos2 15° - sin2 15°.

А

Б

В

Г

Д

-1

0

1

5. Спростіть вираз cos (a - ) - cos (a + ).

А

Б

В

Г

Д

2sin a sin

2sin a cos

2cos a sin

2cos a cos

sin a sin

6. Знайдіть значення виразу cos.

А

Б

В

Г

Д

-1

-

1

7. Знайдіть значення виразу .

А

Б

В

Г

Д

-1

0

1

8. Спростіть вираз .

A

Б

В

Г

Д

tg 2

-tg2

ctg2

- ctg 2

1

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між заданими тригонометричними виразами (1—4) та виразами, що утворилися внаслідок їх спрощення (А—Д).

1

А

tg a

2

1 - sin2a + ctg2a + sin2a

Б

ctg2a

3

sin4a - cos4a + cos2a

В

cos2a

4

Г

sin2a



Д

2cos2a

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Обчисліть а - (у градусах), якщо tga = , tg = , а і — кути І чверті.

11. Спростіть вираз cos(a + ) ∙ cosa + sin(a + p) ∙ sina. Обчисліть його значення, якщо sina = . sin = ; a i ∈ (0;).

12. Сирость вираз . Обчисліть його значення, якщо a = 22,5°.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити