Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ
Тема 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ
Натуральні числа
Натуральні числа — це числа, що використовуються для лічби: 1,2,3,.... n.... Множину натуральних чисел позначають символом N. N={1, 2, 3,...}
Будь-яке натуральне число п у десятковій системі числення можна подати у вигляді
n = аk ∙ 10k + аk-1 ∙ 10k-1 + ... + а2 ∙102 + а1 ∙ 101 + а0,
де а0, a1, a2, ..., ak-1 можуть набувати значення 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а число аk — значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиційний запис цього числа має вигляд
Наприклад: 732 = 7 ∙ 102 + 3 ∙ 10 + 2; 13 859 = 1 ∙ 104 + 3 ∙ 103 + 8 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 9.
Порівняння натуральних чисел
Із двох натуральних чисел більшим (меншим) є те число, яке при лічбі з’являється пізніше (раніше).
Наприклад: 17 < 20; 129 > 120.
Найменшим натуральним числом є число 1. Найбільшого натурального числа не існує.
Із двох натуральних чисел із різною кількістю цифр більшим є те, яке позначене більшою кількістю цифр. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість цифр, то більшим є те число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді однакова, то порівнюються розряди, що на один ступінь нижче і т. д.
Наприклад: 10256 > 989; 10256 < 10356.
Округлення натуральних чисел
Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба:
1) замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду;
2) якщо наступна за цим розрядом цифра була 5, 6, 7, 8 або 9, то цифру розряду, до якого виконується округлення, збільшити на одиницю; якщо наступна за цим розрядом цифра була 0, 1, 2, 3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишити без змін.
Наприклад: числа 125 128, 59 393 округлені до десятків, до сотень відповідно дорівнюють
125 130, 59 390 і 125 100 і 59 400, тобто 125 128 ≈ 126 130, 59 393 ≈ 59 390, 125 128 ≈ 125 100, 59 393 ≈ 59 400.
Додавання натуральних чисел
Наприклад: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1=8.
Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).
Наприклад:
Віднімання натуральних чисел
Відняти від числа а число b означає знайти таке число с, що а = b + с.
Наприклад: 10 - 3 = 10 - 1 - 1 - 1 = 7.
Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика):
Множення натуральних чисел
Наприклад: 2 ∙ 3 = 2 + 2 + 2 = 6.
Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик».
Наприклад:
Ділення натуральних чисел
Розділити число а на число b означає знайти число с таке, що а = b ∙ с.
Натуральне число а розділити на натуральне число b означає підрахувати, скільки разів треба відняти число b від числа а, щоб одержати нуль.
Наприклад: 6 : 3 = 2, бо 6 - 3 - 3 = 0.
Натуральне число а ділиться на натуральне число b націло (а : b), якщо існує натуральне число с таке, що а = bс.
Наприклад: 6 ⋮ 2; 15 ⋮ 5.
Якщо а ⋮ b, то b — дільник а; а— кратне b.
Властивості подільності:
0 ⋮ а, а ∈ N; а ⋮ 1, a ∈ N; а ⋮ a, a ∈ N.
Якщо а ⋮ b, a ∈ N, b ∈ N, то а ≥ b.
Якщо а ⋮ b, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, то a ⋮ с.
Якщо а ⋮ с, b ⋮ с, а ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO (a + b) ⋮ c.
Якщо a ⋮ b і b ⋮ a, a ∈ N, b ∈ N, ТO a = b.
Якщо a ⋮ b, k ≠ 0, TO ak ⋮ bk.
Якщо a ⋮ c, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, m ∈ N, n ∈ N, TO (am + bn) ⋮ c.
Якщо a ⋮ (bс), a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, тO a ⋮ b, a ⋮ c і (a ⋮ b) ⋮ c.
Якщо a ⋮ c i (a + b) ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO b ⋮ c.
Ознаки подільності:
Число ділиться на |
2, якщо його остання цифра ділиться на 2 |
5, якщо його остання цифра ділиться на 5 |
|
4, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 4 |
|
25, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25 |
|
3, якщо сума його цифр ділиться на 3 |
|
9, якщо сума його цифр ділиться на 9 |
|
10, якщо його остання цифра є 0 |
Ділення натуральних чисел і остачею
Якщо а —ділене, b — дільник і а = bс + r, де r < b, то говорять, що при діленні числа а на число b маємо неповну частку с та остачу r.
а : b = с (остача r).
Наприклад: 10 : 4 = 2 (остача 2), 10 = 4 ∙ 2 + 2.
Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом».
Наприклад:
113 сотень : 28 = 4 сотні (остача 1 сотня).
19 десятків : 28 = 0 десятків (остача 19 десятків), 196 : 28 = 7.
Найбільший спільний дільник
Найбільшим спільним дільником чисел а і b називається найбільше число, на яке ділиться і число а, і число b. Позначення — НСД (а; b).
Наприклад: НСД (5; 15) = 5. НСД (15; 9) = 3.
Найменше спільне кратне
Найменшим спільним кратним чисел а і b називається найменше число, яке ділиться і на число а, і на число b. Позначення — НСК (а; b).
Наприклад: НСК (5; 15) = 15; НСК (15; 9) = 45.
НСК (а; b) ∙ НСД (a; b) = аb.
Взаємно прості числи
Числа а і b називаються взаємно простими, якщо НСД (а; b) = 1.
Наприклад: числа 3 і 5 взаємно прості, бо НСД (3; 5) = 1.
Прості та складені числа
Прості числа— натуральні числа, які мають рівно два різних дільники (одиницю і саме число). Наприклад: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... — прості числа.
Складені числа — натуральні числа, які мають більше двох дільників.
Наприклад: 4; 6; 9; 10; ... — складені числа
Будь-яке складене число n можна розкласти на прості множники, тобто подати його у вигляді
n = ∙
∙ ... ∙,
де Р1, Р2,.... Рk — прості числа а k, m1, m2, ..., mk — натуральні числа.
Наприклад: 128 = 27; 24 = 23∙ 3; 108 = 22∙ 33.
Виконайте тест 1
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Мотоцикліст їхав 3 год зі сталою швидкістю. Якщо він проїде ще 12 км із такою ж швидкістю, то його шлях буде дорівнювати 132 км. Із якою швидкістю їхав мотоцикліст?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
20 км/год |
30 км/год |
40 км/год |
60 км/год |
45 км/год |
2. На подвір’ї гуляють кури, качки і гуси — разом 21 птах. Курей у 10 разів більше, ніж качок. Скільки на подвір’ї гусей?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
3 |
7 |
10 |
12 |
3. Серед чисел 1113, 3040, 914, 7035, 7503 оберіть число, яке ділиться і на 3, і на 5.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1113 |
3040 |
914 |
7035 |
7503 |
4. Яку цифру із зазначених нижче треба поставити замість « у числі 5»62, щоб одержане число ділилося на 9?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
0 |
2 |
9 |
3 |
5 |
5. Із поданих чисел оберіть число, яке ділиться і на 2, і на 3.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2894 |
406 |
2802 |
785 |
604 |
6. Найбільший спільний дільник чисел 144 і 168 дорівнює
А |
Б |
В |
Г |
Д |
12 |
24 |
34 |
1008 |
2016 |
7. Найменшим спільним кратним чисел 54,90 і 162 є число
А |
Б |
В |
Г |
Д |
270 |
180 |
810 |
1620 |
3240 |
8. Найменше спільне краше чисел 144 і 168 дорівнює
А |
Б |
В |
Г |
Д |
24 |
288 |
1008 |
864 |
2016 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).
1 |
78 + 23 ∙ 81 - 69 |
А |
354 |
2 |
78 + 23 ∙ (81 - 69) |
Б |
1212 |
3 |
(78 + 23) ∙ 81- 69 |
В |
1512 |
4 |
(78 + 23) ∙ (81 -69) |
Г |
1872 |
Д |
8112 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Знайдіть значення виразу (2356 + 809 - 2841) ∙ 106 : 159.
11. Знайдіть значення виразу 32087 - 87 ∙ (67 + 62524 : 308).
12. Знайдіть значення виразу ((451 - 17 ∙ 3) ∙ 3 - 200) : 500 + 46 ∙ 60.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.