АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

Натуральні числа

Натуральні числа — це числа, що використовуються для лічби: 1,2,3,.... n.... Множину натуральних чисел позначають символом N. N={1, 2, 3,...}

Будь-яке натуральне число п у десятковій системі числення можна подати у вигляді

n = а_k ∙ 10^k + а_k-1 ∙ 10^k-1 + ... + а₂ ∙10² + а₁ ∙ 10¹ + а₀,

де а₀, a₁, a₂, ..., a_k-1 можуть набувати значення 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а число аk — значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний запис цього числа має вигляд

Наприклад: 732 = 7 ∙ 10² + 3 ∙ 10 + 2; 13 859 = 1 ∙ 10⁴ + 3 ∙ 10³ + 8 ∙ 10² + 5 ∙ 10 + 9.

Порівняння натуральних чисел

Із двох натуральних чисел більшим (меншим) є те число, яке при лічбі з’являється пізніше (раніше).

Наприклад: 17 < 20; 129 > 120.

Найменшим натуральним числом є число 1. Найбільшого натурального числа не існує.

Із двох натуральних чисел із різною кількістю цифр більшим є те, яке позначене більшою кількістю цифр. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість цифр, то більшим є те число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді однакова, то порівнюються розряди, що на один ступінь нижче і т. д.

Наприклад: 10256 > 989; 10256 < 10356.

Округлення натуральних чисел

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба:

1) замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду;

2) якщо наступна за цим розрядом цифра була 5, 6, 7, 8 або 9, то цифру розряду, до якого виконується округлення, збільшити на одиницю; якщо наступна за цим розрядом цифра була 0, 1, 2, 3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишити без змін.

Наприклад: числа 125 128, 59 393 округлені до десятків, до сотень відповідно дорівнюють

125 130, 59 390 і 125 100 і 59 400, тобто 125 128 ≈ 126 130, 59 393 ≈ 59 390, 125 128 ≈ 125 100, 59 393 ≈ 59 400.

Додавання натуральних чисел

Наприклад: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1=8.

Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Наприклад: 

Віднімання натуральних чисел

Відняти від числа а число b означає знайти таке число с, що а = b + с.

Наприклад: 10 - 3 = 10 - 1 - 1 - 1 = 7.

Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика):

Множення натуральних чисел

Наприклад: 2 ∙ 3 = 2 + 2 + 2 = 6.

Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик».

Наприклад: 

Ділення натуральних чисел

Розділити число а на число b означає знайти число с таке, що а = b ∙ с.

Натуральне число а розділити на натуральне число b означає підрахувати, скільки разів треба відняти число b від числа а, щоб одержати нуль.

Наприклад: 6 : 3 = 2, бо 6 - 3 - 3 = 0.

Натуральне число а ділиться на натуральне число b націло (а : b), якщо існує натуральне число с таке, що а = bс.

Наприклад: 6 ⋮ 2; 15 ⋮ 5.

Якщо а ⋮ b, то b — дільник а; а— кратне b.

Властивості подільності:

0 ⋮ а, а ∈ N; а ⋮ 1, a ∈ N; а ⋮ a, a ∈ N.

    Якщо а ⋮ b, a ∈ N, b ∈ N, то а ≥ b.

Якщо а ⋮ b, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, то a ⋮ с.

Якщо а ⋮ с, b ⋮ с, а ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO (a + b) ⋮ c.

Якщо a ⋮ b і b ⋮ a, a ∈ N, b ∈ N, ТO a = b.

Якщо a ⋮ b, k  ≠ 0, TO ak ⋮ bk.

Якщо a ⋮ c, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, m ∈ N, n ∈ N, TO (am + bn) ⋮ c.

Якщо a ⋮ (bс), a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, тO a ⋮ b, a ⋮ c і (a ⋮ b) ⋮ c.

Якщо a ⋮ c i (a + b) ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO b ⋮ c.

Ознаки подільності:

Число ділиться на	2, якщо його остання цифра ділиться на 2
	5, якщо його остання цифра ділиться на 5
	4, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 4
	25, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25
	3, якщо сума його цифр ділиться на 3
	9, якщо сума його цифр ділиться на 9
	10, якщо його остання цифра є 0

Ділення натуральних чисел і остачею

Якщо а —ділене, b — дільник і а = bс + r, де r < b, то говорять, що при діленні числа а на число b маємо неповну частку с та остачу r.

а : b = с (остача r).

Наприклад: 10 : 4 = 2 (остача 2), 10 = 4 ∙ 2 + 2.

Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом».

Наприклад: 

113 сотень : 28 = 4 сотні (остача 1 сотня).

19 десятків : 28 = 0 десятків (остача 19 десятків), 196 : 28 = 7.

Найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником чисел а і b називається найбільше число, на яке ділиться і число а, і число b. Позначення — НСД (а; b).

Наприклад: НСД (5; 15) = 5. НСД (15; 9) = 3.

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним чисел а і b називається найменше число, яке ділиться і на число а, і на число b. Позначення — НСК (а; b).

Наприклад: НСК (5; 15) = 15; НСК (15; 9) = 45.

НСК (а; b) ∙ НСД (a; b) = аb.

Взаємно прості числи

Числа а і b називаються взаємно простими, якщо НСД (а; b) = 1.

Наприклад: числа 3 і 5 взаємно прості, бо НСД (3; 5) = 1.

Прості та складені числа

Прості числа— натуральні числа, які мають рівно два різних дільники (одиницю і саме число). Наприклад: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... — прості числа.

Складені числа — натуральні числа, які мають більше двох дільників.

Наприклад: 4; 6; 9; 10; ... — складені числа

Будь-яке складене число n можна розкласти на прості множники, тобто подати його у вигляді

n =  ∙  ∙ ... ∙,

де Р₁, Р₂,.... Р_k — прості числа а k, m₁, m₂, ..., m_k — натуральні числа.

Наприклад: 128 = 2⁷; 24 = 2³∙ 3; 108 = 2²∙ 3³.

Виконайте тест 1

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Мотоцикліст їхав 3 год зі сталою швидкістю. Якщо він проїде ще 12 км із такою ж швидкістю, то його шлях буде дорівнювати 132 км. Із якою швидкістю їхав мотоцикліст?

А	Б	В	Г	Д
20 км/год	30 км/год	40 км/год	60 км/год	45 км/год

2. На подвір’ї гуляють кури, качки і гуси — разом 21 птах. Курей у 10 разів більше, ніж качок. Скільки на подвір’ї гусей?

А	Б	В	Г	Д
1	3	7	10	12

3. Серед чисел 1113, 3040, 914, 7035, 7503 оберіть число, яке ділиться і на 3, і на 5.

А	Б	В	Г	Д
1113	3040	914	7035	7503

4. Яку цифру із зазначених нижче треба поставити замість « у числі 5»62, щоб одержане число ділилося на 9?

А	Б	В	Г	Д
0	2	9	3	5

5. Із поданих чисел оберіть число, яке ділиться і на 2, і на 3.

А	Б	В	Г	Д
2894	406	2802	785	604

6. Найбільший спільний дільник чисел 144 і 168 дорівнює

А	Б	В	Г	Д
12	24	34	1008	2016

7. Найменшим спільним кратним чисел 54,90 і 162 є число

А	Б	В	Г	Д
270	180	810	1620	3240

8. Найменше спільне краше чисел 144 і 168 дорівнює

А	Б	В	Г	Д
24	288	1008	864	2016

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1	78 + 23 ∙ 81 - 69	А	354
2	78 + 23 ∙ (81 - 69)	Б	1212
3	(78 + 23) ∙ 81- 69	В	1512
4	(78 + 23) ∙ (81 -69)	Г	1872
		Д	8112

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть значення виразу (2356 + 809 - 2841) ∙ 106 : 159.

11. Знайдіть значення виразу 32087 - 87 ∙ (67 + 62524 : 308).

12. Знайдіть значення виразу ((451 - 17 ∙ 3) ∙ 3 - 200) : 500 + 46 ∙ 60.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.