Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ

Тема 20. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ

Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Методи розв'язування тригонометричних рівнянь

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin2х + 4cos х = 2,75.

Розв’язання

Замінивши sin2 х на 1 - cos2 х, маємо:

1 - cos2х + 4cos х - 2,75 = 0,

cos2 x + 4cos x - 1,75 = 0,

cos2 x - 4cos x + 1,75 = 0.

Нехай x = 1, тоді t2 - 4t + 1,75 = 0. Звідси t1 = t2 =   > 1.

Оскільки t> 1, то cos x  — розв’язків немає.

Оскільки t1 , то cosx = , х = ±  + 2nnZ.

Відповідь: ±  + 2nnZ.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg  + 3ctgx = 4.

Розв'язання

tgх + 3ctg x = 4, tgх +  = 4.

Нехай tg x = t, тоді t + ,  = 4, t2 - 4t + 3 = 0, t1 = 1 і t= 3.

Маємо: 1) tgx = 1, х =  + nnZ; 2) tgx = 3, x = arctg 3 + nnZ.

Відповідь:  + narctg3 + nnZ.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду (х) (х) = 0

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Розглянемо приклади.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 1 + cosx - 2cos = 0.

Розв'язання

Урахувавши, що 1 + cosx= 2cos2  маємо:

2cos2 – 2 cos = 0; 2cos(cos -1 ) = 0.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:

1)    cos  = 0;  =  + n Z =  + 2n Z;

2)    cos  = 1;  = 2n Z; х = 4n Z.

Відповідь:  + 2n, 4n Z.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння sin 2х - sin х = 0.

Розв'язання

sin 2х - sin х = 0; 2 sin cos = 0; 2sincos = 0.

1) sin  = 0;  =  n, х = 2  n Z;

2) cos = 0;  =  +  n, х =  +  Z.

Відповідь: 2   +  Z.

Однорідні тригонометричні рівняння

Розглянемо рівняння виду asin х + bcos х = 0 (однорідне рівняння 1 -го степеня), де а і не дорівнюють нулю.

Значення х, при яких cos х дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin х теж дорівнював би нулю, a cos х і sin х не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos х.

Маємо  +  = 0; atgx + b = 0; tgx = -x = -arctg + n Z.

Рівняння виду asin2 х + bsin xcos х + ccos2 x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння нacos2x(aбна sin2 х). (У даному рівнянні cos2 х ≠ 0, бо у протилежному випадку sin2 х теж дорівнював би нулю, a cos х і sinx не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді  +  +  = 0.

Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

Рівняння виду ansinn х + аn-1 sinn-1 xcos х + ...+ a1sin xcosn-1 х + a0 cosn x = 0 називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів аn, аn-1, .... а1, а0 не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosnx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів аnan-1, ..., a1a0 дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosnx, слід довести, що cosnх ≠ 0, тобто, cos х ≠ 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння cos2 х - 2cos xsin х = 0.

Ділити обидві частини на cos2не можна, бо cos2= 0 є розв'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

І спосіб (винесення множника)

cos2 х - 2cos xsin х = 0; cos х (cos х - 2sin х) = 0.

Звідси cos х = 0 або cos х - 2sin х = 0.

1) cosx = 0;x =  + n Z;

2) cosx - 2sinx = 0;  -  = 0;

1 - 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg  + n, n  Z.

Відповідь:  + n∈ Zarctg  + n Z.

II спосіб. Розділимо обидві частини на sin2 х, оскільки sinx ≠ 0 у даному рівнянні, бо у протилежному випадку і cos х = 0, що неможливо.

 =  = 0; ctg2 х - 2ctg х = 0; ctgx (ctg x - 2) = 0.

 ЗВІДСИ ctg х = 0, або ctg х = 2.

1) ctgx = 0, x =  + n, n  Z.

2) ctg х = 2; х = arcctg 2 + n∈ Z.

Відповідь:  + narcctg2 + n∈ Z.

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Виконайте тест 20

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Розв’яжіть рівняння sin 2x = -1.

А

Б

В

Г

Д

- + n∈ Z

- + 4n∈ Z

-  , ∈ Z

n∈ Z

n∈ Z

2. Розв’яжіть рівняння cosx = ctg .

А

Б

В

Г

Д

- + 2n∈ Z

 + 2n∈ Z

 + 2n∈ Z

n∈ Z

2n∈ Z

3. Розв’яжіть рівняння tg = .

А

Б

В

Г

Д

 

 n∈ Z

 n∈ Z

n∈ Z

інші відповідь

4. Розв’яжіть рівняння 2sin3х  = 0.

А

Б

В

Г

Д

(-1)k + n∈ Z

(-1)n+1 + n∈ Z

 n∈ Z

∈ Z

коренів немає

5. Розв’яжіть рівняння sin(2х.

А

Б

В

Г

Д

(-1)k + ∈ Z

 n∈ Z

(-1)k + ∈ Z

∈ Z

(-1)k + n∈ Z

6. Розв’яжіть рівняння ctg (3х= 9.

А

Б

В

Г

Д

arcctg3 + k∈ Z

 arcctg9 + ∈ Z

 arcctg9 + k∈ Z

3 + k∈ Z

∈ Z

7. Розв’яжіть рівняння 2cosхsinх = 

А

Б

В

Г

Д

 + 2∈ Z

(-1)k + k∈ Z

 k∈ Z

(-1)k + ∈ Z

коренів немає

8. Розв’яжіть рівняння sin( - х ) – cos ( + x) = .

А

Б

В

Г

Д

(-1)k + n∈ Z

(-1)k + k∈ Z

 2∈ Z

∈ Z

коренів немає

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між даними рівняннями (1—4) та їхніми розв’язками, зображеними на одиничному колі (А—Д).

 Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Укажіть кількість коренів рівняння sin7x = sinx, які належать проміжку [0; ].

11. Укажіть кількість коренів рівняння tgх - 3ctgх - 2 = 0, які належать проміжку [0; 2].

12. Укажіть кількість коренів рівняння 4sin2х(1 + cos2x) = 1 - cos2x, які належать проміжку [;].

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.