Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ

Тема 22. СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Степенева функція y = xp

Степеневою функцією називається функція виду у = хр, де р — стале дійсне число, aх (основа) — змінна. Властивості та графіки степеневих функцій подано в табл. 1.

Таблиця 1

Функція у = хр

№ з/п

Р

Графік

D(y)

Е(у)

Парність (непарність)

Зростання (спадання)

1.

р = 2k∈ N

Рис. 1

R

[0; +∞)

парна

спадає, якщо х ∈ (-∞; 0]; зростає, якщо х ∈ [0; +∞)

2.

р = 2k + 1, ∈ N

Рис. 2

R

R

непарна

Зростає

3.

р = -(2k), ∈ N

Рис. 3

х ≠ 0

(0; +∞)

парна

зростає, якщо х ∈(∞0); спадає, якщо х ∈ (0; +∞)

4.

р = -(2- 1), ∈ N

Рис. 4

х ≠ 0

 0

непарна

спадає на проміжках (-∞; 0), (0; +∞)

5.

р > 0, р — неціле,

0 <р < 1

Рис. 5

[0; +∞)

[0; +∞)

ні парна,

ні непарна

зростає

6.

р > 0, р — неціле,

р > 1

Рис. 6

[0; +∞)

[0; +∞)

ні парна, ні непарна

зростає

7.

р < 0,

р — неціле

Рис. 7

(0; +∞)

(0; +∞)

ні парна, ні непарна

спадає

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

При знаходженні області визначення слід пам’ятати, якщо функція має вигляд у = ха, то:

а) якщо а — натуральне число, то D(yR;

б) якщо а — ціле від’ємне число або нуль, то (у) = (-∞; 0)(0; +∞);

в) якщо а — додатне неціле число, то (у) = [0; +∞);

г) якщо а — від’ємне неціле число, то (у) = (0; +∞).

Функція у =  

Властивості та графіки функції у =  подано в табл. 2.

Таблиця 2

з/п

Показник кореня n

Графік

D(у)

Е(у)

Парність (непарність)

Зростання (спадання)

1.

= 2k N

Рис. 8

[0; +∞)

[0; +∞)

ні парна, ні непарна

зростає, якщо х ∈ (0; +∞)

2.

= 2+ 1,  N

Рис. 9

R

R

непарна

зростає

Рис. 8

Рис. 9

Якщо функція має вигляд y = , де ∈ N, то слід вважати f(x 0 (арифметичний корінь парного степеня існує тільки з невід’ємних чисел).

Наприклад: якщо у = то 6 - х ≥ 0, тобто (у) = (-∞; 6].

Ірраціональні рівняний

Рівняння, у яких під знаком кореня міститься змінна (невідома), називають ірраціональними.

Наприклад:  + 3 = 0,  =  + — ірраціональні рівняння.

Розв'язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на приведенні їх за допомогою деяких перетворень до раціонального рівняння. Як правило, це досягається піднесенням обох частин ірраціонального рівняння до одного і того самого степеня (інколи кілька разів).

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одержане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівняння. (Це відбувається тому, що з рівності парних степенів двох чисел не випливає рівність цих чисел.)

Наприклад: (-5)2 = 52, але -5 ≠ 5.

Тому слід обов’язково робити перевірку одержаних коренів.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння  = -3.

Рівняння  = -3 не має коренів, оскільки радикал із парним показником  не може бути від’ємним.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння  = 2 - х.

Розв'язання

()2= (2 - х)2- 2 = 4 - 4+ х2x- 5x + 6 = 0; х = 2 або х = 3.

Перевірка: 1)  = 2 – 2; 2)  ≠ 2 – 3.

Отже, х = 3 — сторонній корінь.

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння  = 3.

Розв’язання  = 3; ()3= 33; 2х - 1 = 27; = 14.

Відповідь: 14.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння  = 5 - .

Розв'язання

Обидві частини рівняння піднесемо до квадрата

Одержимо 2x - 6 = 25 - 10 + x + 4 або після перетворення 10 = 35 - x.

Знову піднесемо до квадрата обидві частини рівняння:

100(x + 4) = (35 - x)2; 100+ 400 = x- 70x + 1225; x- 170x + 825 = 0.

Звідси x1 = 5, x2 = 165.

Перевірка: 1)  =  = 2, 5 -  = 5 – 3 = 2; 2)  ≠ 5 - 

Отже,x = 165 — сторонній корінь.

Відповідь: 5.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння x2 +3x -18 + 4 = 0.

Розв'язання

Нехай  t≥ 0, тоді x2 + 3x - 18 = t- 12 і дане рівняння стане таким: t2 - 12 + 4? = 0,

звідси t1 = - 6, t2 = 2.

1)  = -6 — розв’язків немає;

2)  = 2, x2 + 3- 6 = 4, x2 + 3- 10 = 0, звідси x = -5 або x = 2.

Перевірка показує, що -5 і 2 є коренями.

Відповідь: -5; 2.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння  = .

Розв'язання

Домножимо чисельник і знаменник дробу лівої частини рівняння на  + .

Тоді  =  = .

Звідси 21 - x + 0 або 21 + x = 0.

1) 21 - + 0, = 21;

2) 21 + x = 0, x = -21.

Відповідь: 21; - 21.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння  +  = 3

Розв'язання

Піднесемо до куба обидві частини рівняння і одержимо:

8 – x + 3(  = 3( + x + 1 = 27,

3( +  = 18.

За умовою  = 3, тому   ∙ 3 = 18,  = 2, x2 - 7х = 0.

Звідси х = 0, х = 7.

Зробивши перевірку: впевнюємося, що обидва корені є коренями даного рівняння.

Відповідь: 0; 7.

Розглянемо розв'язування деяких систем ірраціональних рівнянь

Приклад 8. Розв'яжіть систему рівнянь 

Розв’язання

Додавши почленно ліві та праві частини рівнянь, отримаємо 2 = 6. Звідси  = 3, х = 9.

Віднявши почленно ліві і праві частини рівнянь, отримаємо 2 = 2. Звідси  = 1, у = 1.

Відповідь: (9; 1).

Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь

Рoзв'язання

Уведемо нові змінні:  = a,  = b.

Ця система набуває вигляду

      

Повертаючись до цих змінних, отримаємо:

    

Перевірка:

 

Відповідь: (41; 40).

Ірраціональні нерівності

Для розв’язання ірраціональних нерівностей використаємо узагальнений метод інтервалів. Розв’язком нерівності (х) > 0 (f(x< 0) можуть бути тільки числа, що входять в область визначення функції у = f(х). Розв’язком нерівності f(x) > 0 є ті інтервали області визначення функції y = f(х), де ця функція є додатною. З’ясуємо, яким чином довільна функція може змінити свій знак.

На рис. 10 і 11 зображено графіки двох функцій. На рис. 10 графік розривається в точках х = -1 та х = 1 і знак функції змінюється при переході через точки -1 та 1. На рис. 11 знак функції змінюється при переході графіка з нижньої півплощини у верхню (і навпаки), тобто в тих точках, де графік перетинає вісь ОХ. На осі ОХ значення функції дорівнює нулю, тому значення аргументу, при яких функція дорівнює 0, називаються нулями функції.

Отже, будь-яка функція може змінювати свій знак тільки в точках, де розривається графік функції, або в нулях.

Отже, щоб розв’язати нерівність (х) > 0 ((х) < 0), треба:

1) знайти області, визначення функції у = f(х). (Коли ми знаходимо області, визначення функції, то при цьому виділяються і точки, у яких розривається графік функції);

2) знайти нулі функції (розв’язати рівняння f(х) = 0);

3) на координатній прямій позначити нулі функції на області її визначення і визначити знак функції на кожному інтервалі, на які розбивають нулі функції область визначення (у кожному із цих інтервалів функція зберігає знак, і його можна визначити в будь-якій точці цього інтервалу):

4) записати відповідь (вибрати інтервали, де функція має потрібний знак).

Рис. 10

Рис. 11

Приклад 10. Розв’яжіть нерівність  < 8 – x.

Рoзв'язання

Приведемо нерівність до вигляду  - 8 + х < 0.

Уведемо функцію у =  - 8 + х і знайдемо х, при яких у < 0.

Для цього:

1) знайдемо область визначення функції:

(х + 2)(х - 5) > 0; D(y(-∞; -2][5; +∞) (рис. 12);

Рис. 12

2) знайдемо нулі функції:

 – 8 + x = 0,  = 8 – x,

(х + 2)(х - 5) = 64 - 16х + х2, х2 - 3х - 10 = 64 - 16х + х2,

13х = 74, х = 5;

3) наносимо нуль функції на область її визначення (рис. 13). Знаходимо знак функції на кожному з трьох інтервалів, на які розбивається область визначення нулем функції, і записуємо відповідь.

f(-3) =  – 8 – 3 =  – 8 – 3 < 0,

f(-5,5) =  – 8 + 5,5 =  – 2,5 < 0,

f(6) =  – 8 + 6 =  – 2 > 0,

Рис. 13

Відповідь: (-∞; -2][5;5).

Виконайте тест 22

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть область визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0) (1; +∞)

(0; 1)

(-∞; 0] [1; +∞)

[0; 1]

(0; 1)

2. Знайдіть область визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

(-∞; -2)[2; +∞)

(-∞; -2] [2; +∞)

(-2; 2)

[-22]

(-∞;∞)

3. Знайдіть область значень функції у = .

А

Б

В

Г

Д

[0; +∞)

[3;+ ∞)

(3; +∞)

[0; 3]

(0; +∞)

4. Укажіть кількість коренів рівняння (х2 -16)  = 0.

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

рівняння не має коренів

5. Розв’яжіть рівняння  = 0.

А

Б

В

Г

Д

-1; 2

-1

-1; 2; 5

рівняння не має коренів

5

6. Розв’яжіть рівняння n.

А

Б

В

Г

Д

х∈(-∞;-4]

х∈ [- 4; 0]

х∈ [0; 4]

х∈ [- 4; ∞]

0

7. Розв’яжіть рівняння (х- 9) = 0. У відповідь запишіть суму різних коренів.

А

Б

В

Г

Д

-3

2

3

5

8

8. Розв’яжіть рівняння х - 2 -  = 0

Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь за пишіть к суму.

А

Б

В

Г

Д

-6

6

-1

1

5

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їхніми областями визначення (А—Д).

1

y = 

А

ø

2

y = 

Б

{0}

3

y =  + 

В

[1;+∞)

4

y = 

Г

(-∞;+∞)

   

Д

[-1;+∞

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розв’яжіть рівняння  =  = 4.

Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.

11. Розв’яжіть рівняння  = 3x – 2.

Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.

12. Розв’яжіть систему рівнянь 

У відповідь запишіть суму х0 + у0, де (х0; у0) — розв’язок даної системи. Якщо система має більше одного розвязку, у відповідь запишіть їх кількість.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.