Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 23. ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1

Функцію виду у = ах де а > 0, а ≠ 1, називають показниковою.

Основні властивості

1. Область ви значення — множина всіх дійсних чисел R.

2. Область значень — (0; +∞).

3. Якщо х = 0, то у = 1.

4. Функція не є ні парною, ні непарною.

5. Якщо а > 1, тоді функція у = ах зростає; якщо 0 < а < 1, то функція спадає.

6. При а > 1 і х > 0, ах > 1; при х < 0, ах < 1. При 0 < а < 1 ах < 1, якщо х > 0; ах > 1 при х < 0.

7. Графік функції у = ах зображено на рис. 1.

Рис. 1

Показникові рівняння

Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

Наприклад: рівняння 2х + 3 = 0; 3х+1 - 3х - 1 = 0 є показниковими.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1.

Оскільки множина значень функції у = аx — множина додатних чисел, то рівняння аx = b:

1) має один корінь, якщо > 0 (рис. 2);

2) не має коренів, якщо  0 (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Для того щоб розв’язати рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1, > 0, треба b подати у вигляді b = аc, тоді будемо мати аx = acзвідси х = с.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5x = 125.

Розв'язання

Оскільки 5х = 125, а 125 = 53, то маємо 5х = 53, звідси х = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ()x = 49.

Оскільки 49 = 72 = ()-2, то ()x = ()-2 звідси x = -2.

Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15x2-5x+6 = 1.

Розв'язання

Оскільки 1 = 150, то 15х2-5х+6 = 150x2 – 5X + 6 = 0, звідси x1 = 2, X2 = 3.

Відповідь: 2; 3.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2х-2 = -2.

Розв'язання

Оскільки 2х-2 > 0 при всіх знаменнях x, то рівняння коренів не має.

Відповідь: немає коренів.

Розглянемо деякі способи розв’язування показникових рівнянь.

І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння af(x) = аg(х).

Як відомо, показникова функція ax > 0  а  1 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності af(x) = ag(x) випливає, що f(х) = g(x).

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2х ∙ 5х = 0,1(10х-1)3.

Розв'язання

2х 5х = 0,1(10х-1)3; 10х = 10-1∙ 103х-3; 10х = 103х-4; х = 3х - 4; х = 2.

Відповідь: 2.

ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3х - 2 ∙ 3х-2 = 63.

Розв'язання

3x - 2 ∙ 3x-2 = 63; 3х-2 (32 - 2) = 63; 3х-2∙ 7 = 63; 3х-2 = 9; x - 2 = 2; = 4.

Відповідь: 4.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 52x-1 – 52x + 22x + 22x+2 = 0.

Розв'язання

22x + 22x+= 52x - 52x-1; 22x (1 +22) = 52x(1 - 5-1);

22x ∙ 5 = 52x ∙  = ; ()2x = ()2 : 2x = ; x = 1.

Відповідь: 1.

IІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 49x - 8 ∙ 7x + 7 = 0.

Розв'язання

49x - 8 ∙ 7x + 7 = 0; (72)x - 8 ∙ 7x + 7 = 0; (7x)2- 8 ∙ 7x + 7 = 0.

Нехай 7х = t, тоді t2 - 8t + 7 = 0; t1 = 7; t2 = 1.

Отже. 1)7x = 7; х = 1; 2) 7x = 1; 7x = 70= 0.

Відповідь: 1; 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 16x + 2 ∙ 81x = 5 ∙ 36x.

Розв'язання

3 ∙ 42x + 2 ∙ 92x = 5 ∙ 4x ∙ 9x +  = ; 3 ∙ ()2x – 5 ∙ ()x + 3 = 0.

Заміна ()x = у, тоді 3у2 - 5у + 2 = 0, звідси у, = y= 1.

Отже, 1) ()()2x = ; 2x = 1; ;

2) ()x = 1; x = 0.

Відповідь: 0; .

IV спосіб. Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь.

Приклад 6. Розв’яжіть графічно рівняння ()x = х +1.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у = ()xу = х + 1 в одній системі координат.

Графіки функцій у = ()x і у = х + 1 перегинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 4).

Відповідь: х = 0.

Рис. 4

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам'ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

Системи показникових рівнянь

При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв'язання

Зробимо заміну 3= а, 7y = b, тоді матимемо систему:

Розв’яжемо систему рівнянь: 
     

Отже,  

Відповідь: (2; 1).

Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв’язання    

 або   або 

Отже,  і  є розв’язками системи.

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв’язання

Перемножимо і розділимо рівняння системи, тоді одержимо:

    

Відповідь: (2; 1).

Показникові нерівності

Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей аx > ax ≥ ab) або аx < ab x ≤ аb). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

Розглянемо приклади.

Приклад 10. Розв’яжіть нерівність 3x < 27.

Розв’язання

Запишемо дану нерівність у вигляді 3x < 33. Оскільки 3 > 1, то функція у = 3є зростаючою. Отже, при х < 3 виконується нерівність 3x < 27.

Відповідь: (-∞; 3).

Приклад 11. Розв’яжіть нерівність ()x > .

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді ()x > ; ()x > .

Оскільки у = ()x — спадна функція, то х < - .

Відповідь: (-х; - ).

Приклад 12. Розв’яжіть графічно нерівність 2х ≤ 3 - х.

Розвязання

Побудуємо графіки функцій у = 2х і у = 3 - х (рис. 5). Із рисунка видно, що 2х ≤ 3 - х при  1. Отже, розв’язком нерівності 2х ≤ 3 - х є проміжок (-∞; 1 ]. Відповідь: (-∞; 1].

Рис. 5

Приклад 13. Розв’яжіть нерівність 6x2+ > 63.

Розв’язання

Показникова функція у = 6t зростає, тому дана нерівність рівносильна нерівності х2 + 2> 3. Розв’язуємо нерівність x+ 2- 3 >0 методом інтервалів (рис. 6).

Маємо X∈ (-∞; -3)(1; +∞).

Відповідь: (-∞; -3)( 1; +∞).

Рис. 6

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність 25x + 25 ∙ 5x - 1250 > 0.

Розв’язання

Зробимо заміну 5x = tтоді дану нерівність запишемо так:

t2 + 25- 1250 >0.

Розв’яжемо одержану нерівність методом інтервалів (рис. 7), тоді

<-50 або t > 25.

Отже, маємо дві нерівності: 5x < -50 або 5x > 25.

Розв’яжемо їх:

1) 5x < -50 — розв'язків немає;

2) 5x  > 25; 5x > 52; X > 2.

Відповідь: (2; +∞).

Рис. 7

Виконайте тест 23

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Чому дорівнює , якщо 7а = с?

А

Б

В

Г

Д

c

2. Запишіть вираз  ∙ ( у вигляді степеня з основою 2.

А

Б

В

Г

Д

3. Якому з наведених проміжків належать усі розв’язки рівняння 2 ∙ (8x - 8-x) = - З?

А

Б

В

Г

Д

(-6;-5)

[-3;-2)

(-1; 0)

(0; 0,25)

(0,25; 1)

4. Розв’яжіть рівняння  =  ∙ 

А

Б

В

Г

Д

5. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 0,42x-1 = 0,064.

А

Б

В

Г

Д

(-∞;-2)

[-2;-1)

(-1; 0)

[0; 1)

(1; 2]

6. На рисунку зображено графіки функцій g(x і f(х) = 2x. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f(x) ≥ g(x).

А

Б

В

Г

Д

(-; 0)

(0; 2)

(-; 0)(0; 1)

(-; 0)[2; +)

[2;+ ∞)

7. Розв’яжіть нерівність 0,63х-1 > 0,36.

А

Б

В

Г

Д

(-1)

(-)

(1; +)

(-)

інша відповідь

8. Знайдіть область значень функції у = 32cos2x-sin2x

А

Б

В

Г

Д

[19]

[3;9]

[1; 3]

[;1]

[;9]

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їх можливими графіками (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розв’яжіть рівняння 2x+2 - 2x = 96.

11. Розв’яжіть систему рівнянь 

У відповідь запишіть суму х0 + у0, якщо пара (x0; у0) є розв’язком системи рівнянь.

12. Розв’яжіть систему рівнянь 

Для одержаного розв’язку (x00) системи обчисліть добуток x0 ∙ у0.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.