Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 24. ЛОГАРИФМИ. ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Основна логарифмічна тотожність

Означення логарифма можна коротко записати так:

Ця рівність справедлива при > 0, а > 0, а ≠ 1 і називається основною логарифмічною тотожністю. Наприклад: 2log25 = 5, 2-log25 = (2log25)-1= 5-1 = .

Основні властивості логарифмів

При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв’язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких доданих х і у виконуються такі рівності:

1) logа 1 = 0;

2) logа а = 1;

3) logа ху = logа х + logа у;

4) logа  = logа х - logа у;

5) loga xp = plogа х (p  R);

6) logap x = logax;

7) loga x =   (b > 0, b ≠ 1).

Логарифм числа

Рівняння ax = b, де a > 0, ≠ 1, b > 0 (рис. 1), має єдиний корінь. Його називають логарифмом числа з основою а і позначають logab).

Рис. 1

Наприклад: коренем рівняння 2х = 8 є число 3, тобто log2 8 = 3.

Логарифмом додатного числа b за основою а, де а > 0, а ≠ 1, називають показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержат число b.

Наприклад: log28 = 3, оскільки 23 = 8;

log2  = -2, оскільки 2-2 = :

log7= 0, оскільки 70 = 1.

Розглянемо приклади використання формул 3—7. Обчислімо:

1)   log6 18 + log6 2 = log6( 18 ∙ 2)= log636 = 2;

2)   log12 48 - log12 4 = log12 = log1212 = 1;

3) log3 = log3 = log33 =  ∙ 1 = ;

4) log1255 =  5 =  log35 =  ∙ 1 = ;

5)  = log416 = log442 = 2log44 = 2 ∙ 1 = 2.

Формулу називають формулою переходу до логарифмів з іншою основою.

За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довільною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш уживаними є таблиці десяткових і натуральних логарифмів.

Десятковими логарифмами називають логарифми за основою 10, позначають lg.

Наприклад: lg100 = 2, lg 0,0001 = -4.

Натуральними логарифмами називають логарифми за основою е (число е — ірраціональне, е ≈ 2,718...), позначають In.

Наприклад: ln е = 1, ln е2 = 2, ln = -1.

Дію знаходження логарифма числа (виразу) називають логарифмуванням.

Приклад 1. Прологарифмувати вираз у = .

Рoзв'язання

lgy = lg = lg(a2b2) – lgc3 = lgalgb– lgc3 = 2lga + 2lgb – 3lgc.

Дію, обернену до логарифмування, називають потенціюванням. Потенціювання —знаходження числа (виразу) за його логарифмом.

Приклад 2. Пропотенціювати вираз lgx lg5a - 31gb + 41gc.

Розв’язання

lgx = lg5a – 3lgb + 4lgclgx = lg – lgc4lgx = lg – lgb3 + lgc4;

lgx = lg( ∙ c4) – lgb3; lgx = lg ; x = .

Логарифмічна функція y = loga х, > 0, a ≠ 1

Функцію виду у = logaxде а > 0, а ≠ 1, називають логарифмічною. Основні властивості логарифмічної функції

1. Область визначення — (0;+∞).

2. Область значень — множина всіх дійсних чисел R.

3. Якщо х = 1, то у = 0.

4. Функція у = logaне є ні парною, ні непарною.

7. Якщо а > 1, функція у = loga х зростає, а при 0 < а < 1 — спадає.

8. Якщо а > 1 і х > 1, то у = log0. Якщо а > 1 і 0 < х < 1,то у = logа х < 0. Якщо 0 < а < 1 і х > 1, то у = logх < 0. Якщо 0 < а < 1 і 0 < х < 1, то у = log> 0.

9. Графік функції у = logа х зображено на рис. 2.

Рис. 2

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = logа(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати f(x> 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x2 -5x + 6), то x- 5+ 6 > 0, тобто D(y= (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log f(x) bb > 0, то слід вважати  (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = logx-110, то  тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

Логарифмічні рівняння, нерівності та системи

Логарифмічними називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Приклад 3. Логарифмічні рівняння:

lgх = 1 + lg2 х, log2 (х + 3) = 9,  = lg.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд loga х = b, де а > 0 ,а  1, х > 0. З означення логарифма випливає, що ab.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

loga x  =  loga bде а > 0, а  1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності logaloga b на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо

х = alogab = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

logx а = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.

За означенням логарифма маємо

xb = а, звідси х = .

В основному, усі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв’язувати, зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння log3 (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 32, 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log3 (2 ∙ 4 + 1) = log3 9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння log3 х = log3 (6 - х2).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х2; х2 + х - 6 = 0; х1 = -3; х2 = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log(- 3) — не визначений;

2) log3х = log32; log3(6 - х2) = log3(6 - 22) = log32.

Відповідь: 2.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння logx+1 (2x2 + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x+ 1 = (х + 1)2; 2x2 + 1 = х2 + 2х + 1; х2 - 2х = 0; х1 = 0; х2 = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log2+1 (2 ∙ 22 + 1) = log3 9 = 2.

Відповідь: 2.

Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння log22 х - 3 log2 х = 4.

Розв'язання

Позначимо log2 х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у2 - 3у = 4; у2 - 3у - 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.

Звідси log2= 4, log2x = -1; x = 24x = 2-1x = 16, x = .

Перевірка:

1) log2216 - 31og16 = 16 -12 = 4;

2) log22 - 3log = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння log5 (x - 1) + log5 (х - 2) = log5 (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log5 ((х - 1 )(х - 2)) = log5 (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х2 - 2х - х + 2 = х + 2; х2 - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log5 (х - 1) і log5 (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log5(х - 1) + log5(х - 2) = log5(4 - 1) + log5(4 - 2) = log53 + log52 = log5 (2  3) = log5 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3.    Метод зведення логарифмів до однієї основи.

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння log3x - 2х = 3.

Розв’язання

log3x - 2 = 3; log3x – 2 ∙  = 3; log3x – 2 ∙  = 3;

log3x + 2log3х = 3; 3log3x = 3; log3x = 1; х = 3.

Перевірка: log3 3 - 2= 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад 10. Розв'яжіть рівняння хlgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0) і одержимо

lg хlgx = lg (100х); lg х lg х = lg 100 + lg x; lg2 x - lg x - 2 = 0.

Замінимо lg x = у. Рівняння набуває вигляду:

y- у - 2 = 0; y1 = 2; y= -1.

Тоді: 1) lgx = 2; x = 102x = 100.

2) lgx = -1; x = 10-1 = 0,1.

Перевірка:

1) xlgx = 100lg100 = 1002; 100x = 100 ∙ 100= 1002. Отже, x = 100 — корінь;

2) xlgx =0,1lg0,1 = 0,1-1 = 1 = 10; 100x = 100 ∙ 0,1 = 10. Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 11. Розв’яжіть рівняння lgх = 1 - х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції у = lg x  і у = 1 - (рис. 3). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

Рис. 3

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба памятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

Системи логарифмічних рівнянь

При розв’язуванні систем логарифмічних рівнянь використовують ті самі способи, що й при розв’язуванні алгебраїчних систем. Розглянемо приклади.

Приклад 12. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв'язання

Додамо і віднімемо почленно рівняння системи, тоді одержимо:   

Відповідь: (106; 10-1).

Приклад 13. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв'язання

  

    

Тоді маємо:  або 

Перевіркою впевнюємося, що (9; 7), (7; 9) — розв’язки системи.

Відповідь: (9; 7), (7; 9).

Логарифмічні нерівності

Як відомо, логарифмічна функція у = logах зростає при а > 1, спадає — при 0 < а < 1. Зі зростання функції у = logах у першому випадку і спадання — у другому випливає:

1. При а > 1 нерівність logах2 > logах1 рівносильна системі 

2. При 0 < а < 1 нерівність logах2 > logAХ1 рівносильна системі 

Розглянемо приклади.

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність log2х < 3.

Розв'язання

Оскільки 3 = log2 23 = log2 8, то запишемо дану нерівність у вигляді log2х < log2 8. Оскільки функція у = log2х зростаюча при X > 0, то маємо  Отже, 0 < х < 8 (рис. 4).

Відповідь: х ∈ (0; 8).

Рис. 4

Приклад 15. Розв’яжіть нерівність х ≤ -2.

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді  х≤  9. Оскільки функція у = х спадна при х > 0, маємо:  отже, ≥ 9 (рис. 5).

Рис. 5

Відповідь: х ∈ [9; +∞).

Як правило, логарифмічна нерівність зводиться до нерівностей виду logaf(X) > loga g (X), де а > 0, а ≠ 1.

Якщо а > 1, то нерівність logaf(X) > loga g (X) рівносильна системі нерівностей  

Якщо 0 < а < 1, то нерівність logaf(Xlogag(xрівносильна системі нерівностей 

Приклад 16. Розв’яжіть нерівність log0,5 (x2 + X) ≥ -1.

Розв'язання

Оскільки -1 = log0,5 0,5-1  = log0,5 2, то log0,5 (X2 + X) ≥ log0,5 2.

Одержана нерівність рівносильна системі

   

Розв’язком першої нерівності (рис. 6) є (-∞; -1 ) (0; +∞).

Рис. 6

Розв’язком другої нерівності (рис. 7) є [-2; 1].

Рис. 7

Тоді маємо (рис. 8) х ∈ [-2; -1 ) (0; 1 ].

Відповідь: [-2;-1) (0; 1].

Рис. 8

Приклад 17. Розв'яжіть нерівність log25 х - log5> 2.

Розв'язання

Нехай log5 х = у, тоді отримаємо нерівність у- у - 2 > 0. Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів (рис. 9):

у ∈ (-∞; -1 )(2; +∞).

Ураховуючи заміну, маємо:

Рис. 9

1) log5 х < -1; log5 х < log  (0; );

2) log5х > 2; log > log5 25;  x  (25;+∞).

Отже, (0; ) (25;+ ∞) —розв’язок даної нерівності.

Відповідь: (0; )(25;+∞).

Приклад 18. Розв’яжіть нерівність  ≥1.

Розв'язання

Нехай lgх = у, тоді матимемо нерівність

 ≥ 1; y ≠ 1;  – 1 ≥ 0;  ≥ 0;  ≥ 0.

Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів (рис. 10):

у ∈(-1; 1].

Ураховуючи заміну, одержимо -1 < lg х ≤ 1.

Тоді   

Отже, х ∈(0,1; 10] (рис. 11).

Відповідь: (0,1; 10].

Рис. 10

Рис. 11

Приклад 19. Розв’яжіть нерівність (3х 6)log0,6 х > 0.

Розв’язання

Нехай у = (3х 6)log0,6 x> 0. Область визначення функції у: х > 0. Знайдемо нулі функції:

(3х - 6) ∙ log0,6x = 0; 3х - 6 = 0;

log0,6x = 6; х = 2, х = 1.

Рис. 12

Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точками 2 і 1 і знайдемо знаки функції на утворених проміжках (рис. 12). Отже, х ∈(1; 2).

Відповідь: (1; 2).

Приклад 20. Розв’яжіть нерівність logx-3 (x - 1) < 2.

Рoзв'язання

Нехай у = logх-3 (х - 1) - 2 і у < 0. Область визначення функції знаходимо із системи:

 

Отже, х ∈(3; 4)(4; +∞).

Знайдемо нулі функції:

logх-3 (х - 1) = 2; х - 1 = (х - 3)2; х - 1 = х2 - 6х + 9;

х- 7х + 10 = 0; х = 5, х = 2.

Значення х = 2 не входить в області, визначення функції. Зробивши перевірку, переконуємося, що х = 5 — нуль функції.

Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точкою 5 та знайдемо знаки функції на утворених проміжках (рис. 13). Отже, х ∈(3; 4)(5; +∞).

Відповідь: (3; 4)(5; +∞).

Рис. 13

Приклад 21. Розв’яжіть нерівність logх ≤ 4 - х графічно.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у = log3х і у = 4 - х в одній системі координат. Графіки перетинаються в точці А з абсцисою х = 3 (рис. 14).

Із рис. 14 видно, що множина розв’язків нерівності log3 х ≤ 4 - х є проміжок (0; 3].

Відповідь: (0; 3].

Рис. 14

Виконайте тест 24

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Обчисліть .

А

Б

В

Г

Д

-

-

-2

2. Знайдіть значення виразу log3 (9а), якщо log3 а = 0,3.

А

Б

В

Г

Д

0,6

2,3

2,7

3,3

9,3

3. Розташуйте в порядку зростання числа: a = log8b = 49, c = 0,008, d = log3.

А

Б

В

Г

Д

с < а < b < d

< а < b < с

b < а < < с

а < < с

b < а < с < d

4. Знайдіть log2 12, якщо log32 = а.

А

Б

В

Г

Д

2+

2+a

2-a

+1

+2

5. Знайдіть область визначення функції у = .

А

Б

В

Г

Д

 +n, n  Z

2n, n  Z

- +n, n  Z

+2n, n  Z

n, n  Z

6. Через яку із наведених точок проходить графік функції у = ?

А

Б

В

Г

Д

(8; 0,5)

(9; 4)

(7; 0,25)

(9; 0,5)

(8; 4)

7. Розв'яжіть нерівність lg (х + 6) -  lg (2х - 3) < 2 - lg 25.

А

Б

В

Г

Д

[6; 14]

(-16;-14)

(8; 14)

(6; 14)

(-6; 4)

8. Знайдіть цілі розв’язки нерівності log0,5 9 ∙ log2 (х + 4) > 0.

А

Б

В

Г

Д

-3, 0

-4, -3

9

-5, -6

0

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їх можливими графіками (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть добуток коренів рівняння log6х + logx36 = .

11. Знайдіть число з проміжка (1,8; 4), яке задовольняє рівняння 2log3 (х - 2) + log3 (х - 4)2 = 0.

12. Розв’яжіть систему рівнянь 

Знайдіть суму х0 + у0, якщо пара (x0у0) є розв’язком указаної системи рівнянь. Якщо система має більше одного розв’язку, укажіть їх кількість.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.