Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 27. ПЕРВІСНА, НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ

Первісна

Функцію (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).

Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x= (х2)' = 2х f(x).

Основна властивість первісної

Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x+ С, де С — довільна стала.

Функції (х) = х+ С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).

Правила обчислений первісних

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для (х), то (х) + (х) — первісна для функції f(x) + g(x).

2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x— первісна для Cf (х).

3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і ≠ 0, b — стала, то  F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(х) називають вираз (х) + С, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(х).

Позначається так: (f(x)d(x)= F(x) + C, де функцію f(х) називають підінтегральною функцією; вираз сіх — підінтегральним виразом; F(x) — одна з первісних функції f(х); С — довільна стала.

Основні правила інтегрування

1.  =  + .

2.  C.

3. Якщо k ≠ 0 i kb – сталі,  то  = F (kx + b) + C.

Таблиця первісних

Функція f(x)

Первісна F (x) + C

Функція f(x)

Первісна F (x) + C

0

C

tgx + C

1

x + C

- ctgx + C

xn(n ≠ -1)

 + C

ex

e+ C

ln|x| + C

ax

 + C

sin x

-cosx + C

arctg x + C або   -arctgx + C

cosx

sinx + C

arcsin x + C або   -arccos x + C

Таблиця невизначених інтегралів

 = C;

 = x + C;

 =  + C, n ≠ -1;

 = ln|x| + C;

 = -cosx + C;

 = -sinx + C;

 = tgx + C;

 = ctgx + C;

 = ex + C;

 =  + C;

 = 

 = 

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(xcosx.

Розв’язання

Оскільки для х одна з первісних є  , а для cos х однією з первісних є sin х, то однією з первісних для функції х + cos х є функція  sin х, отже F(x) =  sinx + С.

Відповідь: F(x) =  sinx + С.

Приклад 2. Знайдіть .

Розв'язання

 =  +  -  = ex – cosx – ln|x| + C

Відповідь: ех-cosx ln|x| + С.

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3х2.

Розв’язання

Оскільки однією з первісних для функції ех є функція ех, то однією з первісних для функції 5 ех є 5eх; оскільки однією з первісних для функції sin х є -cos х, то однією з первісних для функції 7sin х є -7cos х; первісною для функції 3х2 є 3 ∙  = х3. Отже, F(x= 5ех - 7cos х - х3 + С — первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3 х2.

Відповідь: F(x= 5еx - 7cos х - х3 + С.

Приклад 4. Знайдіть dx.

Розв’язання

dx = +3 = x + 3 ∙ ex - 4sinx + C.

Відповідь: x + 3ex - 4sin x + C.

Приклад 5Знайдіть первісні для функцій: а) f(х) = (7 - 3х)5; б)f(х) = e2x-1.

Розв'язання

а) оскільки первісною для функції х5 є функція  F(x) =   + C =   + Cто згідно з правилом 3 шукані первісні

б) оскільки однією з первісних для функції еє функція еx, то згідно з правилом 3 маємо F(x) =  e2x-1 + C.

Відповідь:

а) F(x) = - + C;

б)  F(x) =  e2x-1 + C.

Приклад 6. Знайдіть значення .

Розв'язання

 =  =  ∙  = C =  ∙  ∙ + C =  + C.

Відповідь:  + C.

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом

від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).

Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdxде С – стала.

 +g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4.  =  .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х2 однією з первісних є  , то  =  =  -  =  +  = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 8. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 9. Обчисліть:

a;

б) .

Розв’язання

Відповідь: а) 3 - 1; б) 12.

Виконайте тест 27

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

А

Б

В

Г

Д

F(x) =  + C

F(x) = x + C

F(x) =  + C

F(x) =x + C

F(x) = -x + C

2. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

А

Б

В

Г

Д

F(x) =-  + C

F(x) = - + C

F(x) = 2 + C

F(x) =  + C

F(x) =  + C

3. Знайдіть .

А

Б

В

Г

Д

sin х + С

cosx + С

sin x + С

cos х + С

tgx + C

4. Знайдіть .

А

Б

В

Г

Д

3x2 + C

4x3 + C

3x4 + C

 + C

 + C

5. Для даної функції f(a) =  знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (0; 1).

А

Б

В

Г

Д

F(x) = x

F(x) = x

F(x) = x

F(x) = x

іншa відповідь

6. Для даної функції f(х) =  знайдіть первісну, графік якої проходить через точкуA (;0)

А

Б

В

Г

Д

F(x) = - ctgx + 

F(x) = - ctgx - 

F(x) = - ctgx

F(x) = - ctgx + 1

іншa відповідь

7. Обчисліть .

А

Б

В

Г

Д

20

26

16

4

10

8. Обчисліть  

А

Б

В

Г

Д

-2

-1

0

1

2

У завданні до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1

А

0

2

Б

0,5

3

В

1

4

Г

2

   

Д

3

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть dx.

11. Знайдіть .

12. Обчисліть  .

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.