АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 2. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ, МІШАНІ ЧИСЛА ТА ЇЇ НАД НИМИ

Звичайні дроби і мішані числа

Звичайним дробом називається вираз , де а ∈ N. b ∈ N. Число а називається чисельником, а число b — знаменникам. Дробова риска означає знак ділення. Знаменник дробу показує, на скільки рівних частин ділитеся число (величина), чисельник— скільки таких частин узято.

Наприклад: дріб  показує, що якусь величину розділили на 8 рівних частин і взяли три таких частини. 3 — чисельник. 8 — знаменник  = 3 : 8 (див. рисунок).

Дріб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник.

Дріб називаєтеся неправильнім, якщо його чисельник дорівнює знаменнику або більший за нього.

Наприклад: дроби ;  — правильні; дроби ;  — неправильні.

Мішаним числом називається сума натурального числа і правильного дробу, записана без знака «+».

Наприклад, число 1  мішане, число 1 — ціла частина мішаного числа, а  —  дробова частина мішаного числа (див. рисунок).

Виділення цілої частини із неправильного дробу.

Перетворення мішаного числа в неправильний дріб

Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, треба розділити з остачею чисельник на знаменник: неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником, а знаменник — той самий.

Наприклад: ; 1 ; ; 5 

Щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба помножити його цілу частину на знаменник дробової частини; до одержаного добутку додати чисельник дробової частини і записати суму чисельником, а знаменник залишити той самий.

Наприклад:

2 =  = ; 12  =  = .

Основна властивість дробу

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то одержимо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад:  =  =  =  (див. рисунок)

Скорочення дробу —ділення чисельника і знаменника дробу на спільний дільник чисельника і знаменника дробу, більший за одиницю.

Наприклад:  = ;  = .

Порівняння дробів і мішаних чисел

Із двох дробів із рівними знаменниками більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший).

Наприклад:  < ,  > .

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба їх звести до спільного знаменника а потім порівняти.

Наприклад:  < , оскільки  = ,  = ,  > .

Із двох мішаних чисел з однаковими цілими частинами більше те число, дробова частина якого більша. Із двох мішаних чисел із різними цілими частинами більше те, ціла частина якого більша.

Наприклад: 3 > 1, 5 > 5.

Додавання звичайних дробів і мішаних чисел

Додавання дробів із рівними знаменниками:  +  = .

Наприклад:  +  = .

Додавання дробів із різними знаменниками:  +  = , якщо НСД (b; d) = 1.

Наприклад:  +  =  = .

 +  = , де m = НСК (b; d), k = , l = .

Наприклад:  +  =  = .

a +  = .

Наприклад: 5 =  = 5 =  = .

Віднімання звичайних дробів і мішаних чисел

Віднімання дробів із рівними знаменниками

 -  = .

Наприклад:  -  = .

Віднімання дробів із різними знаменниками

 -  = , якщо НСД (b; d) = 1.

Наприклад:  -  =  = .

 +  = , де m = НСК (b; d), k = , l = .

Наприклад:   +  =  = 

a -  = .

Наприклад: 1 -  =  = ; 5 -  =  = .

Множення звичайних дробів

 ∙  = .

Наприклад:

 ∙  = ;  ∙  =  =  = .

a ∙  = .

Наприклад: 5 ∙  =  = 2; 3 ∙  =  = 1.

Ділення дробів

 : =  ∙ = .

Наприклад:  :  =  ∙  = .

a :  = a ∙  = .

Наприклад: 12 :  = 12 ∙  =  =  = 18.

 : c =  ∙ = 

Наприклад:   : 4 =  =  = .

Виконайте тест 2

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Серед дробів , , , ,  укажіть найменший.

А	Б	В	Г	Д

2. Серед дробів , , , ,  укажіть найбільший.

А	Б	В	Г	Д

3. Якщо швидкість човна проти течії становить 13 км/год, а швидкість течії — 2 км/год, то власна швидкість човна дорівнює

А	Б	В	Г	Д
15 км/год	11 км/год	18 км/год	15  км/год	16 км/год

4. Якщо одни кран заповнює басейн за 6 год, а другий — за 12 год, то за 1 год обидва крани заповнять

А	Б	В	Г	Д
частину басейну	частину басейну	частину басейну	частину басейну	частину басейну

5. Сума дробів  i  дорівнює

А	Б	В	Г	Д

6. Сума 3  = 4 дорівнює

А	Б	В	Г	Д
8	7	8	7	7

7. Різниця 10 - 2 дорівнює

А	Б	В	Г	Д
7	7	8	8	8

8. Значення виразу  -  дорівнює

А	Б	В	Г	Д
1

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1	+	А	-
2	- -	Б
3	∙	В
4	:	Г
		Д	1

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Пшеницею засіяно 240 га, що становить  усього поля. Знайдіть площу поля.

11. У книзі 140 сторінок. Хлопчик прочитав  цієї книги. Скільки сторінок прочитав хлопчик?

12. Знайдіть значення виразу (( ) ∙  + 6 : ) : 1.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.