Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 29. СПОЛУКИ. БІНОМ НЬЮТОНА

Елементи комбінаторики Перестановки (без повторень)

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називаємся перестановкою з n елементів.

Число перестановок з n елементів (позначається Рn) дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто n! (читається: «eн факторіал»):

Рn = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙... ∙ n = n!

За означенням 0! = 1.

Таблиця факторіалів чисел віл 1 до 10

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!

1

2

6

24

120

720

5040

40 320

362 880

3 628 800

Розміщення (без повторень)

Будь-яка впорядкована множина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, де m < n. називається розміщенням з n елементів по m елементів.

Число розміщень з n елементів по m позначають .

Число розміщень з n елементів по m дорівнює добутку m послідовних натуральних чисел, найбільшим із яких є n:

 = n(n - 1 )(n - 2)(n - 3) ∙ ... ∙ (n - m + 1) або  = .

Якщо n = m, то  = Рn.

Комбінації (без повторень)

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називаємся комбінацією з n елементів по m елементів.

Число комбінацій з n елементів по m позначають символом .

Число комбінацій з n елементів по m (1 ≤ ≤ n) дорівнює дробу, чисельником якого є добуток m послідовних натуральних чисел, найбільшим із яких є n, а знаменником — добуток m перших послідовних натуральних чисел:

 =  або  =  = 1;  = n = 1.

Властивості числа комбінацій без повторень

 =  =  +  +  +  + …  +  = 2n.

Трикутник Паскаля

Усі можливі значення  (n = 0, 1, 2, ... m = 0, 1, 2,...,) можна записати у вигляді трикутної таблиці.

Гака таблиця називається трикутником Паскаля.

Розглянемо розв’язання задач.

Задача 1. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Розв'язання

Число способів розташування на майданчику шести волейболістів дорівнює числу перестановок із шести елементів:

Р= 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Відповідь: 720.

Задача 2. Скільки можна провести різних площин через 5 точок простору, якщо ніякі чотири з них не лежать в одній площині?

Розв'язання

Площина визначається трьома точками, тому всіх площин буде  =  = 10.

Відповідь: 10.

Задача 310 учнів обмінялися фотографіями. Скільки всього було роздано фотографій?

Розв'язання

Кількість фотографій дорівнює:

=10 ∙ 9 = 90.

Відповідь: 90.

Задача 4. Скільки всього різних п’ятицифрових чисел можна утворити із цифр 0, 1, 3, 5, 7 (у числах цифри не мають повторюватися)?

A

Б

В

Г

Д

5

24

25

96

120

Розв'язання

Першу цифру п’ятицифрового числа можна обрати чотирма способами (це може бути 1, 3, 5 або 7). При кожному виборі першої цифри другу можна обрати також чотирма способами (це може бути одна із цифр, що залишилася з набору 1, 3, 5, 7, або цифра 0). Отже, перші дві цифри можна обрати шістнадцятьма способами: 4 ∙ 4 = 16. При кожному виборі перших двох цифр третю цифру можна обрати трьома способами, а при кожному виборі перших трьох цифр четверту — двома способами, а п’яту — одним способом. Отже, із даного набору цифр можна утворити 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 96 п’ятицифрових чисел.

Відповідь: Г.

Задача 5. На полиці стоять 8 підручників. Скількома способами можна поставити ці книжки на полицю так, щоб підручники з алгебри, геометрії і фізики стояли поруч?

Розвязання

Будемо розглядати підручники з алгебри, геометрії, фізики як одну книжку. Тоді на полиці треба розмістити не 8 книжок, а 6. Це можна зробити Р6 способами. Підручники з алгебри, геометрії і фізики можна розмістити Р3 способами. Використовуючи правило множення, матимемо, що шукана кількість способів дорівнює

Р6∙ Р3 = 6! ∙ 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 36 ∙ 120 = 4320.

Відповідь: 4320.

Задача 6. У кошику лежать 8 різних яблук і 4 різні груші. Треба вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання

Вибрані 3 яблука з 8 можна  способами. Вибрати 2 груші з 4 можна  способами. Тоді за правилом добутку вибір погрібних фруктів можна здійснити  ∙  способами.

 ∙  =  = = 6  7  8 = 336.

Відповідь: 336.

Біном Ньютона

Рівність (х + а)n = хnа0 + Схn-1а1 +...+ xn-mаm +... + х0аn називають біномoм Ньютона, або формулою Ньютона. Права частина рівності називається біноміальним розкладам (у суму), або розкладом бінома, а коефіцієнти ,...,  — біноміальними.

Властивості розкладу бінома

1. Число всіх членів розкладу на одиницю більше, ніж показник степеня бінома, тобто дорівнює

+ 1.

2. Сума показників степенів x і а кожного члена розкладу дорівнює показнику степеня бінома, тобто

(n - m) + m = n.

3. Загальний член розкладу (позначається Тm+1 ) має вигляд

Tm+1 xn-mam, m = 0,1...,n.

4. Біноміальні коефіцієнти членів розкладу, рівновіддалених від кінців розкладу, рівні між собою

 = m = 0, 1, 2, ...,n.

5. Сума біноміальних коефіцієнтів усіх членів розкладу дорівнює 2n:

 + +  + … +  = 2n.

6. Сума біноміальних коефіцієнтів членів розкладу; що стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, які стоять на парних місцях, і дорівнює 2n-1:

 +  +  +... =  +  +  +... = 2n-1.

Розглянемо розв’язування задач.

Приклад 1. Піднесіть до шостого степеня х - 2у.

Розв'язання

Покладемо а = х, b = -2у, тоді отримаємо

(a + b)6 = (x – 2y)6 = x6 + x5(-2y) + x4(-2y)2 + x3(-2y)3 + x2(-2y)4 + x(-2y)5+

(-2у)6 = 1 ∙ x6 + 6х5(-2у) + 15х4 - 4у2 + 20x3(-8y3) + 15x2 ∙ 16y4 + 6х(-32y5) + 1 ∙ 64у6 =

x6 - 12х5у + 60х4у2 -160x3y3 + 240х2у4 - 192xу5 + 64y6.

Відповідь: х6 -12X5 + 60X4y2 -160x3y3 +240x2y4 -192xy5 + 64y6.

Приклад 2. Знайдіть 13-й член розкладу бінома ( + )15.

Розв'язання

Згідно з формулою загального члена розкладу бінома маємо T13 = T12+1 = ()3 ∙ 3 ∙ 2 ()12 =  ∙ 3 ∙ 26 =  ∙ 3 ∙ 26 = 87360.

Отже = 87 360.

Відповідь: Т13 = 87 360.

Приклад 3. Знайдіть номер члена розкладу бінома (+)16який не містить х.

Розв’язання

Для загального члена розкладу маємо Tm+1 = ()16-m ∙ ()m = x-m = .

Член розкладу не залежить від х. Це означає, що показник степенях дорівнює 0, тобто  = 0.

Звідси m = 4. Отже, п’ятий член даного розкладу не залежить від х. Відповідь: п’ятий член.

Виконайте тест 29

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Задано цифри 2, 3, 4, 5, 6. Знайдіть кількість непарних п’ятицифрових чисел, які можна скласти із цих цифр, використовуючи кожну цифру тільки один раз.

А

Б

В

Г

Д

24

48

72

120

240

2. Із цифр 1, 3, 5, 7, 9 складено всі можливі п’ятицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які діляться на 5?

А

Б

В

Г

Д

6

24

96

118

625

3. Із цифр 2, 3, 4, 5, 6 складено всі можливі чотирицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які не починаються цифрою 6?

А

Б

В

Г

Д

6

24

96

118

625

4. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі можливі п’ятицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які починаються з 53?

А

Б

В

Г

Д

6

24

96

118

625

5. У шаховому турнірі брали участь 6 шахістів. Учасники турніру зіграти один з одним тільки по одній партії. Скільки всього шахових партій було зіграно на цьому турнірі?

А

Б

В

Г

Д

6

12

15

18

21

6. Укажіть скільки можна скласти різних двоцифрових чисел із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, не повторюючи їх у числі.

А

Б

В

Г

Д

36

48

64

72

100

7. Скількома способами можна вибрати 3 різні фарби із 5 різних фарб?

А

Б

В

Г

Д

8

10

15

20

60

8. Розв’яжіть рівняння 15 = 7A. Якщо рівняння має декілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму?

А

Б

В

Г

Д

-3

1

2

12

9

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—5) та їхніми значеннями (А—Д).

1

P4

А

10

2

Б

20

3

В

24

4

Г

60

   

Д

120

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Із 10 троянд і 8 жоржин треба скласти букет із 2 троянд і 3 жоржин. Скількома способами можна скласти такий букет?

11. Із 7 бігунів і 3 стрибунів треба скласти команду з 5 спортсменів, у яку б входив хоч би один стрибун. Скількома способами це можна зробити?

12. Знайдіть значення члена розкладу (x + )10який не містить х.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.