Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 30. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА ЇХ СИСТЕМ

Методи розв’язання рівнянь. Рівносильні рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або не мають їх зовсім. Знак рівносильності рівнянь — .

Наприклад: 1) х + 1 = 3  х - 1 = 1, оскільки вони мають корінь х = 2;  2) х - 1 = х  х2 =-1.

Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

Система рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти їхні спільні корені. Знак системи — {.

 = 0   □ = ∆    =   

Наприклад: (х2 - 1)2 + (х -1)2 = 0     х = 1.

Сукупність рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти всі їхні корені. Знак сукупності — [.

∆ ∙  = 0 =  

Наприклад: (х - 1)(х - 2) = 0 

Розкладання чи множники

Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а останні при цьому існують.

Наприклад: (х2 - 4) = 0  

Заміна змінних

Наприклад: (х2 +3х)2 + 2(х2 + 3х) -120 = 0

   

Порівняння обох чистин рівняння за величиною

Наприклад: sin5 х - cos20 х = 1  sin5 x = cos20 x +1.

Оскільки sin5 x ≤ 1; 1 + cos20 х ≥ 1, to x =  + 2∈ Z.

Використання однорідності

a(F(x)2 + bF(x)G(x) + c ∙ (G(х))2 = 0.

Наприклад: 3(x + 8)2 - 4(х + 8)(x2 + 2x + 2) + (x2 + 2x + 2)2 = 0.

Нехай x + 8 = a, x2 + 2x + 2 = 6, тоді 3а2 - 4ab + b2 = 0, a1,2 = ; a = b або a = .

Тоді 

Використання монотонності

Наприклад: 3х + 4х = 5х ()x + ()x = 1.

Функція f(x= ()x + ()x спадна, f(2) = ()2 + ()2 = 1. Отже, x = 2 — єдиний корінь.

Графічний метод

Щоб графічно розв’язати рівняння f(x) = (х), треба побудувати графіки функцій у = f(x) і у = g(x) і знайти абсциси точок їх перетину.

Наприклад: ()x X +1.

Відповідь: х = 0.

Нерівносильні перетворення

Можуть призвести до втрати коренів

Неправильне розв’язання:

х(х + 3) = 2X; х + 3 = 2;

х = - 1; ∈ {- 1 }.

Втрачено корінь х = 0.

Правильне розв’язання:

Х2 + 3- 2Х = 0;

Х2 + Х = 0; X(+1) = 0;

x = 0 або х + 1 = 0, х = - 1.

∈ {0; - 1}.

Можуть призвести до появи сторонніх коренів

Неправильне розв’язання:

 = х2 + х- 1 = 4х- 3;

х- 3х + 2 = 0; х = 1; або х = 2 {1; 2}.

Корінь А = 1 — сторонній.

Правильне розв’язання:

 = 

 x  {2}.

Методи розв’язання нерівностей

Метод інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(х) > 0, f(х) < 0, де f(х) = , де a1a2а3, ..., аn — різні числа, треба:

1) зобразити а1, а2,.... аn на координатній прямій (ці числа, розташовані у порядку зростання, розділяють пряму на n + 1 проміжків, на яких функція f(xзберігає свій знак);

2) визначити знаки функції f(xна кожному проміжку;

3) записати відповідь.

Наприклад:  ≥ 0.

х ∈ (-2;-1][0; 1)[2; +∞).

Відповідь: х ∈ (-2; - 1 ][0; 1 )[2; +∞).

Рис. 2

Узагальнений метод інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0, f(x) < 0, треба:

1) знайти область визначення функції у = f(x);

2) знайти нулі функцій (f (x= 0);

3) на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;

4) записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).

Наприклад:  < 8 – x.

Зведемо нерівність до вигляду  - 8 + x < 0.

Уведемо функцію у =  - 8 + і знайдемо значення х, для яких у < 0.

Для цього

1) знайдемо область визначення функції:

(х + 2) (х - 5) ≥ 0

D(у) = (-∞; - 2] [5; + ∞);

2) знайдемо нулі функції:

 = 8 - х; (х + 2)(х - 5) = (8 - х)2; (х + 2)(х - 5) = 64 - 16х + х2;

х2 - 3х -10 = 64 -16х + х2; 13х = 74; х = 5;

Рис. 3

3) наносимо нулі» функції на область визначення функції; знаходимо знак на кожному проміжку:

y(-3) =  - 8 – 3 =  -11 < 0.

y(5,5) =  – 8 + 5,5 =  – 2,5 < 0

i y(6) =  – 8 + 6 =  – 2 > 0 і записуємо відповідь х ∈ (-∞; - 2]  [ 5; 5).

Відповідь: х ∈ (-∞;-2]  [ 5; 5).

Рис. 4

Графічний метод

Щоб розв’язати нерівність f (x) > g(x), треба побудувати графіки функцій у = f(x), у = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований вінце графіка функції у = g(x).

Щоб розв’язати нерівність f(х) < g(x), треба побудувати графіки функцій f(x), y = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований нижче графіка функції у = g(x).

Наприклад: log3 х ≤ 4 - х, х ∈ (0; 3].

Відповідь: х ∈ (0; 3].

Рис. 5

Методи розв’язування систем рівнянь

Правило переходу до совокупності

  

Правило додавання

 

Правило підстaновки

  

Зведення системи рівнянь до об’єднання простіших систем

Наприклад: розв’яжіть систему

Розв'язання

  

Відповідь: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).

Спосіб уведення нових змінних

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

     

   

Відповідь: (16; 30).

Використання теореми Вієта

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

х і у— корені рівняння а2 - 5а + 6 = 0.

Звідси а = 2, а = 3. Отже, розв’язками системи є пари (2; 3), (3; 2).

Відповідь: (2; 3), (3; 2).

Симетричні системи

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв’язання

х + у = uxy = v(x + y)2 = u2х2 + 2ху + y2 = u2xy2 = u- 2v.

    

Звідси (3; 4), (4; 3).

Відповідь: (3; 4). (4; 3).

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

х + у = uxу = v, х2 + y2 = u2 - 2vxy3 = (x + y)3 - 3x2y - 3xy2 = u- 3vu.

   

 

Звідси (2; -1), (-1; 2). Відповідь: (2; -1), (-1; 2).

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв’язання

(хуz)2 = 3600, тоді хуz = 60 або хуz = - 60.

Якщо хуz = - 60, то z =  =  = 5.

x =  =  = 3, y =  =  = 4.

Якщо хуz = - 60, то x =  =  = -3, y =  =  = -4, z =  =  = -5

Відповідь: (3; 4; 5), (-3; - 4; -5).

Виконайте тест 30

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповіді» і позначте її у бланку А.

1. Скільки коренів має рівняння  + х3 = 3 - х?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

2. Скільки коренів має рівняння  + х2 = 1 + х15 ?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

3. Скільки коренів має рівняння 1 - х2 = ?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

4. Скільки коренів має рівняння sin = x3 + ?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

5. Скільки коренів має рівняння  +  +  = ?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

6. Скільки коренів має рівняння  -  = 1?

А

Б

В

Г

Д

жодного

тільки один

тільки два

тільки три

безліч

7. Розв’яжіть рівняння  -  = 24 та знайдіть суму його коренів.

А

Б

В

Г

Д

-2

-1

0

1

2

8. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 4х + 2 ∙ 9х = 5 ∙ 6х та знайдіть суму його коренів.

А

Б

В

Г

Д

-2

-1

0

І

2

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між даними системами рівнянь (1—-4) та кількістю їх розв’язків (А—Д).

1

А

жодного розв’язку

2

Б

один розв’язок

3

В

два розв’язки

4

Г

три розв’язки

   

Д

безліч

Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розв’яжіть рівняння  +  = та знайдіть суму його коренів.

11. Розв’яжіть нерівність  > 2.

12. Розв’яжіть систему рівнянь

та знайдіть х0 + у0, де (х0, у0) — розв’язок даної системи.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.