АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 30. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА ЇХ СИСТЕМ

Методи розв’язання рівнянь. Рівносильні рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або не мають їх зовсім. Знак рівносильності рівнянь — .

Наприклад: 1) х + 1 = 3  х - 1 = 1, оскільки вони мають корінь х = 2;  2) х - 1 = х  х² =-1.

Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

Система рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти їхні спільні корені. Знак системи — {.

 = 0   □ = ∆    =   

Наприклад: (х² - 1)² + (х -1)² = 0     х = 1.

Сукупність рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти всі їхні корені. Знак сукупності — [.

∆ ∙  = 0 =  

Наприклад: (х - 1)(х - 2) = 0 

Розкладання чи множники

Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а останні при цьому існують.

Наприклад: (х² - 4) = 0  

Заміна змінних

Наприклад: (х² +3х)² + 2(х² + 3х) -120 = 0

   

Порівняння обох чистин рівняння за величиною

Наприклад: sin⁵ х - cos²⁰ х = 1  sin⁵ x = cos²⁰ x +1.

Оскільки sin⁵ x ≤ 1; 1 + cos²⁰ х ≥ 1, to x =  + 2, n ∈ Z.

Використання однорідності

a(F(x)² + bF(x)G(x) + c ∙ (G(х))² = 0.

Наприклад: 3(x + 8)² - 4(х + 8)(x² + 2x + 2) + (x² + 2x + 2)² = 0.

Нехай x + 8 = a, x² + 2x + 2 = 6, тоді 3а² - 4ab + b² = 0, a_1,2 = ; a = b або a = .

Тоді 

Використання монотонності

Наприклад: 3^х + 4^х = 5^х ()^x + ()^x = 1.

Функція f(x) = ()^x + ()^x спадна, f(2) = ()² + ()² = 1. Отже, x = 2 — єдиний корінь.

Графічний метод

Щоб графічно розв’язати рівняння f(x) = g (х), треба побудувати графіки функцій у = f(x) і у = g(x) і знайти абсциси точок їх перетину.

Наприклад: ()^x = X +1.

Відповідь: х = 0.

Нерівносильні перетворення

Можуть призвести до втрати коренів

Неправильне розв’язання:

х(х + 3) = 2X; х + 3 = 2;

х = - 1; X ∈ {- 1 }.

Втрачено корінь х = 0.

Правильне розв’язання:

Х² + 3X - 2Х = 0;

Х² + Х = 0; X(X +1) = 0;

x = 0 або х + 1 = 0, х = - 1.

x ∈ {0; - 1}.

Можуть призвести до появи сторонніх коренів

Неправильне розв’язання:

 = ; х² + х- 1 = 4х- 3;

х² - 3х + 2 = 0; х = 1; або х = 2, a ∈ {1; 2}.

Корінь А = 1 — сторонній.

Правильне розв’язання:

 = ; 

 x ∈ {2}.

Методи розв’язання нерівностей

Метод інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(х) > 0, f(х) < 0, де f(х) = , де a₁, a₂, а₃, ..., а_n — різні числа, треба:

1) зобразити а₁, а₂,.... а_n на координатній прямій (ці числа, розташовані у порядку зростання, розділяють пряму на n + 1 проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак);

2) визначити знаки функції f(x) на кожному проміжку;

3) записати відповідь.

Наприклад:  ≥ 0.

х ∈ (-2;-1][0; 1)[2; +∞).

Відповідь: х ∈ (-2; - 1 ][0; 1 )[2; +∞).

Рис. 2

Узагальнений метод інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0, f(x) < 0, треба:

1) знайти область визначення функції у = f(x);

2) знайти нулі функцій (f (x) = 0);

3) на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;

4) записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).

Наприклад:  < 8 – x.

Зведемо нерівність до вигляду  - 8 + x < 0.

Уведемо функцію у =  - 8 + x і знайдемо значення х, для яких у < 0.

Для цього

1) знайдемо область визначення функції:

(х + 2) (х - 5) ≥ 0

D(у) = (-∞; - 2] [5; + ∞);

2) знайдемо нулі функції:

 = 8 - х; (х + 2)(х - 5) = (8 - х)²; (х + 2)(х - 5) = 64 - 16х + х²;

х² - 3х -10 = 64 -16х + х²; 13х = 74; х = 5;

Рис. 3

3) наносимо нулі» функції на область визначення функції; знаходимо знак на кожному проміжку:

y(-3) =  - 8 – 3 =  -11 < 0.

y(5,5) =  – 8 + 5,5 =  – 2,5 < 0

i y(6) =  – 8 + 6 =  – 2 > 0 і записуємо відповідь х ∈ (-∞; - 2]  [ 5; 5).

Відповідь: х ∈ (-∞;-2]  [ 5; 5).

Рис. 4

Графічний метод

Щоб розв’язати нерівність f (x) > g(x), треба побудувати графіки функцій у = f(x), у = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований вінце графіка функції у = g(x).

Щоб розв’язати нерівність f(х) < g(x), треба побудувати графіки функцій y = f(x), y = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований нижче графіка функції у = g(x).

Наприклад: log₃ х ≤ 4 - х, х ∈ (0; 3].

Відповідь: х ∈ (0; 3].

Рис. 5

Методи розв’язування систем рівнянь

Правило переходу до совокупності

  

Правило додавання

 

Правило підстaновки

  

Зведення системи рівнянь до об’єднання простіших систем

Наприклад: розв’яжіть систему

Розв'язання

  

Відповідь: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).

Спосіб уведення нових змінних

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

     

   

Відповідь: (16; 30).

Використання теореми Вієта

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

х і у— корені рівняння а² - 5а + 6 = 0.

Звідси а = 2, а = 3. Отже, розв’язками системи є пари (2; 3), (3; 2).

Відповідь: (2; 3), (3; 2).

Симетричні системи

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв’язання

х + у = u; xy = v; (x + y)² = u², х² + 2ху + y² = u², x² + y² = u² - 2v.

    

Звідси (3; 4), (4; 3).

Відповідь: (3; 4). (4; 3).

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв'язання

х + у = u: xу = v, х² + y² = u² - 2v, x³ + y³ = (x + y)³ - 3x²y - 3xy² = u³ - 3vu.

   

 

Звідси (2; -1), (-1; 2). Відповідь: (2; -1), (-1; 2).

Наприклад: розв’яжіть систему 

Розв’язання

(хуz)² = 3600, тоді хуz = 60 або хуz = - 60.

Якщо хуz = - 60, то z =  =  = 5.

x =  =  = 3, y =  =  = 4.

Якщо хуz = - 60, то x =  =  = -3, y =  =  = -4, z =  =  = -5

Відповідь: (3; 4; 5), (-3; - 4; -5).

Виконайте тест 30

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповіді» і позначте її у бланку А.

1. Скільки коренів має рівняння  + х³ = 3 - х?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

2. Скільки коренів має рівняння  + х² = 1 + х¹⁵ ?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

3. Скільки коренів має рівняння 1 - х² = ?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

4. Скільки коренів має рівняння sin = x³ + ?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

5. Скільки коренів має рівняння  +  +  = ?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

6. Скільки коренів має рівняння  -  = 1?

А	Б	В	Г	Д
жодного	тільки один	тільки два	тільки три	безліч

7. Розв’яжіть рівняння  -  = 24 та знайдіть суму його коренів.

А	Б	В	Г	Д
-2	-1	0	1	2

8. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 4^х + 2 ∙ 9^х = 5 ∙ 6^х та знайдіть суму його коренів.

А	Б	В	Г	Д
-2	-1	0	І	2

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між даними системами рівнянь (1—-4) та кількістю їх розв’язків (А—Д).

1		А	жодного розв’язку
2		Б	один розв’язок
3		В	два розв’язки
4		Г	три розв’язки
		Д	безліч

Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Розв’яжіть рівняння  +  = та знайдіть суму його коренів.

11. Розв’яжіть нерівність  > 2.

12. Розв’яжіть систему рівнянь

та знайдіть х₀ + у₀, де (х₀, у₀) — розв’язок даної системи.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.