Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ
Тема 30. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА ЇХ СИСТЕМ
Методи розв’язання рівнянь. Рівносильні рівняння
Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або не мають їх зовсім. Знак рівносильності рівнянь — 
.
Наприклад: 1) х + 1 = 3 х - 1 = 1, оскільки вони мають корінь х = 2; 2) х - 1 = х х2 =-1.
Системи і сукупності рівнянь з однією змінною
Система рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти їхні спільні корені. Знак системи — {.
= 0 
□ = ∆ 
= 
Наприклад: (х2 - 1)2 + (х -1)2 = 0 
х = 1.
Сукупність рівнянь — це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти всі їхні корені. Знак сукупності — [.
∆ ∙ 
= 0 = 
Наприклад: (х - 1)(х - 2) = 0 
Розкладання чи множники
Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а останні при цьому існують.
Наприклад: (х2 - 4)
= 0 
Заміна змінних
Наприклад: (х2 +3х)2 + 2(х2 + 3х) -120 = 0
Порівняння обох чистин рівняння за величиною
Наприклад: sin5 х - cos20 х = 1 sin5 x = cos20 x +1.
Оскільки sin5 x ≤ 1; 1 + cos20 х ≥ 1, to 
x = 
+ 2
, n ∈ Z.
Використання однорідності
a(F(x)2 + bF(x)G(x) + c ∙ (G(х))2 = 0.
Наприклад: 3(x + 8)2 - 4(х + 8)(x2 + 2x + 2) + (x2 + 2x + 2)2 = 0.
Нехай x + 8 = a, x2 + 2x + 2 = 6, тоді 3а2 - 4ab + b2 = 0, a1,2 = 
; a = b або a = 
.
Тоді 
Використання монотонності
Наприклад: 3х + 4х = 5х (
)x + (
)x = 1.
Функція f(x) = ()x + ()x спадна, f(2) = ()2 + ()2 = 1. Отже, x = 2 — єдиний корінь.
Графічний метод
Щоб графічно розв’язати рівняння f(x) = g (х), треба побудувати графіки функцій у = f(x) і у = g(x) і знайти абсциси точок їх перетину.
Наприклад: (
)x = X +1.
Відповідь: х = 0.
Нерівносильні перетворення
Можуть призвести до втрати коренів
Неправильне розв’язання:
х(х + 3) = 2X; х + 3 = 2;
х = - 1; X ∈ {- 1 }.
Втрачено корінь х = 0.
Правильне розв’язання:
Х2 + 3X - 2Х = 0;
Х2 + Х = 0; X(X +1) = 0;
x = 0 або х + 1 = 0, х = - 1.
x ∈ {0; - 1}.
Можуть призвести до появи сторонніх коренів
Неправильне розв’язання:
= 
; х2 + х- 1 = 4х- 3;
х2 - 3х + 2 = 0; х = 1; або х = 2, a ∈ {1; 2}.
Корінь А = 1 — сторонній.
Правильне розв’язання:
= ; 
x ∈ {2}.
Методи розв’язання нерівностей
Метод інтервалів
Щоб розв’язати нерівність f(х) > 0, f(х) < 0, де f(х) = 
, де a1, a2, а3, ..., аn — різні числа, треба:
1) зобразити а1, а2,.... аn на координатній прямій (ці числа, розташовані у порядку зростання, розділяють пряму на n + 1 проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак);
2) визначити знаки функції f(x) на кожному проміжку;
3) записати відповідь.
Наприклад: 
≥ 0.
х ∈ (-2;-1]
[0; 1)[2; +∞).
Відповідь: х ∈ (-2; - 1 ][0; 1 )[2; +∞).
Рис. 2
Узагальнений метод інтервалів
Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0, f(x) < 0, треба:
1) знайти область визначення функції у = f(x);
2) знайти нулі функцій (f (x) = 0);
3) на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;
4) записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).
Наприклад: 
< 8 – x.
Зведемо нерівність до вигляду - 8 + x < 0.
Уведемо функцію у = - 8 + x і знайдемо значення х, для яких у < 0.
Для цього
1) знайдемо область визначення функції:
(х + 2) (х - 5) ≥ 0
D(у) = (-∞; - 2] [5; + ∞);
2) знайдемо нулі функції:
= 8 - х; (х + 2)(х - 5) = (8 - х)2; (х + 2)(х - 5) = 64 - 16х + х2;
х2 - 3х -10 = 64 -16х + х2; 13х = 74; х = 5
;
Рис. 3
3) наносимо нулі» функції на область визначення функції; знаходимо знак на кожному проміжку:
y(-3) = 
- 8 – 3 = 
-11 < 0.
y(5,5) = 
– 8 + 5,5 = 
– 2,5 < 0
i y(6) = 
– 8 + 6 = – 2 > 0 і записуємо відповідь х ∈ (-∞; - 2] [ 5; 5).
Відповідь: х ∈ (-∞;-2] [ 5; 5).
Рис. 4
Графічний метод
Щоб розв’язати нерівність f (x) > g(x), треба побудувати графіки функцій у = f(x), у = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований вінце графіка функції у = g(x).
Щоб розв’язати нерівність f(х) < g(x), треба побудувати графіки функцій y = f(x), y = g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(x) розташований нижче графіка функції у = g(x).
Наприклад: log3 х ≤ 4 - х, х ∈ (0; 3].
Відповідь: х ∈ (0; 3].
Рис. 5
Методи розв’язування систем рівнянь
Правило переходу до совокупності
Правило додавання
Правило підстaновки
Зведення системи рівнянь до об’єднання простіших систем
Наприклад: розв’яжіть систему
Розв'язання
Відповідь: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).
Спосіб уведення нових змінних
Наприклад: розв’яжіть систему 
Розв'язання
Відповідь: (16; 30).
Використання теореми Вієта
Наприклад: розв’яжіть систему 
Розв'язання
х і у— корені рівняння а2 - 5а + 6 = 0.
Звідси а = 2, а = 3. Отже, розв’язками системи є пари (2; 3), (3; 2).
Відповідь: (2; 3), (3; 2).
Симетричні системи
Наприклад: розв’яжіть систему 
Розв’язання
х + у = u; xy = v; (x + y)2 = u2, х2 + 2ху + y2 = u2, x2 + y2 = u2 - 2v.
Звідси (3; 4), (4; 3).
Відповідь: (3; 4). (4; 3).
Наприклад: розв’яжіть систему 
Розв'язання
х + у = u: xу = v, х2 + y2 = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)3 - 3x2y - 3xy2 = u3 - 3vu.
Звідси (2; -1), (-1; 2). Відповідь: (2; -1), (-1; 2).
Наприклад: розв’яжіть систему 
Розв’язання
(хуz)2 = 3600, тоді хуz = 60 або хуz = - 60.
Якщо хуz = - 60, то z = 
= 
= 5.
x = = 
= 3, y = = 
= 4.
Якщо хуz = - 60, то x = = 
= -3, y = = 
= -4, z = = 
= -5
Відповідь: (3; 4; 5), (-3; - 4; -5).
Виконайте тест 30
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповіді» і позначте її у бланку А.
1. Скільки коренів має рівняння 
+ х3 = 3 - х?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
2. Скільки коренів має рівняння 
+ х2 = 1 + х15 ?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
3. Скільки коренів має рівняння 1 - х2 = 
?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
4. Скільки коренів має рівняння sin
= x3 + 
?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
5. Скільки коренів має рівняння 
+ 
+ 
= 
?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
6. Скільки коренів має рівняння 
- 
= 1?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
жодного |
тільки один |
тільки два |
тільки три |
безліч |
7. Розв’яжіть рівняння 
- 
= 24 та знайдіть суму його коренів.
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
8. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 4х + 2 ∙ 9х = 5 ∙ 6х та знайдіть суму його коренів.
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
-2 |
-1 |
0 |
І |
2 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між даними системами рівнянь (1—-4) та кількістю їх розв’язків (А—Д).
|
1 |
|
А |
жодного розв’язку |
|
2 |
|
Б |
один розв’язок |
|
3 |
|
В |
два розв’язки |
|
4 |
|
Г |
три розв’язки |
|
Д |
безліч |
Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Розв’яжіть рівняння 
+ 
= 
та знайдіть суму його коренів.
11. Розв’яжіть нерівність 
> 2
.
12. Розв’яжіть систему рівнянь
та знайдіть х0 + у0, де (х0, у0) — розв’язок даної системи.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
