Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 31. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

Основні поняття

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... . Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування — це умови, за яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Події розподіляються на випадкові, вірогідні та неможливі.

Випадковою називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час певного випробування.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.

Неможливою називається подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Неможлива подія позначається символом .

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових подій.

Попарно несумісні події— це події, кожні дві з яких не можуть відбутися одночасно.

Рівнoможливі події— події, кожна з яких не має ніяких переваг, щоб з’являтися частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Повною групою подій називається множина таких подій, коли в результаті кожного випробування обов’язково має відбутися хоча б одна з них.

Якщо події мають властивості: 1) утворювати повну групу подій; 2) бути несумісними; 3) бути рівноможливими, то такі події утворюють множину, яка називається просторам елементарних подій.

Класичне означений ймовірності

Відношення числа m елементарних подій, які сприяють події A, до загальної кількості n подій простору називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А), тобто

P(A) = ,

де — число подій, які сприяють події An — число подій простору елементарних подій (0 ≤ ≤ n).

Імовірність вірогідної події дорівнює 1, імовірність неможливої події дорівнює 0, а ймовірність Р(А) випадкової події A задовольняє умову 0 <Р(А) < 1.

Приклад 1. Імовірність того, що при киданні двох монет випаде два герби, дорівнює , бо простір елементарних подій такий: A1 — випали два герби; A2 — випали герб і число; A3 — вішати число та герб; А4 — випали два числа, а шуканій події сприяє лише одна подія —А1.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта — чорні. Виймають навмання 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 2 кульки) дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 20, тобто числу комбінацій із 20 елементів по 2 (n = ). Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «вийнято 2 білих кульки». Ця кількість дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 12 білих, тобто числу комбінацій із 12 елементів по 2 (m = ).

Отже, якщо подія А — «вийнято 2 білі кульки», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 2. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта—чорні. Виймають навмання 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних 2 кульки будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування («вийнято 3 кульки») дорівнює n = . Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «серед 3 вибраних кульок 2 білі». Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами , а 1 чорну кульку — 8 способами, тоді події «серед 3 вибраних кульок 2 білі» сприяють m =  ∙ 8 елементарних подій.

Отже, якщо подія А — «серед 3 вибраних кульок 2 білі», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 3У скрині лежать 15 червоних, 9 синіх і 6 зелених кульок, однакових на дотик. Виймають навмання 6 кульок. Яка ймовірність того, що вийнято: 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки?

Розв'язання

У цій задачі випробування полягає в тому, що зі скрині виймають 6 кульок. Вийняти 6 кульок із 15 + 9 + 6 = 30 кульок можна n =  способами. Нас цікавить імовірність події A— «вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки». Одну зелену кульку можна вийняти  способами, 2 синіх кульки —  способами, 3 червоних кульки —  способами. Отже, події А сприяють m =  ∙  ∙  елементарних подій. Тоді P(A) =  =  =  = .

Відповідь: .

Статистичне означення ймовірності

Нехай n — кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, a m — кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А.

Статистичною ймовірністю події А називається границя, до якої наближається відносна частота , події А при необмеженому збільшенні числа всіх випробувань, тобто

p(A) = .

Операції над подіями

Сумою двох подій А і В (рис. 1) називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування або події А. або події В, або обох подій А і В одночасно (позначається С = А + В, або С = А  В).

Подія  називається протилежною події А. якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається.

Добутком двох подій А і В (рис. 2) називається подія С, яка полягає в одночасному здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування (позначається С = А ∙ В, або С = А  В).

Рис. 1

Рис. 2

Теорема про ймовірність суми подій

Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Якщо А ∙ В = , то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Приклад 2. Якщо спортсмен стріляє по мішені, яка розділена на дві частини, і ймовірність попадання в першу частину дорівнює 0,45, а в другу — 0,35, то ймовірність попадання в мішень становитиме 0,45 + 0,35 = 0,8.

Із теореми випливають наслідки.

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А1, А2,... Аn, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

Р(А) + Р() = 1.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Приклад У скрині лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. Виймають навмання 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не чорна?

Розв’язання

Нехай подія А — «поява нечорної кульки»; А1 — «поява чорної кульки»; А2 — «поява червоної кульки»; А3 — «поява зеленої кульки»; А4 — «поява синьої кульки». Тоді А = А2+ А3 + А4, причому А2, А3, А4 — несумісні,

P(A2) =  , P(A3) = P(A4) = .

За теоремою ймовірності суми несумісних подій отримуємо

Р(А) = Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) =  +  +  =  = 

Відповідь: .

Приклад 4. У коробці є 20 деталей, із яких 15 — стандартні. Знайдіть імовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоча б 1 стандарта.

Розв’язання

Подія А — «серед вибраних деталей є хоча б 1 стандартна», подія  — усі вибрані деталі не стандарті. Згідно з наслідком 2 маємо Р(А) + Р() = 1. Звідси Р(А) = 1 - Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна вибрати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей 20 - 15 = 5, із цього числа деталей можна m =  способами вибрати З нестандартні деталі.

Отже, Р().) =  =  =   ∙  = .

Шукана ймовірність Р(А) = 1 - Р().) = 1 -  = .

Відповідь: .

Теорема про ймовірність добутку полій

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Імовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В).

Якщо події А1, А2, А3,... Аn незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них С може бути виражена через імовірність цих подій формулою

Р(C) = 1 - (1 - P(A1)) ∙ (1 - Р(A2) ∙...∙ (1 - Р(An)).

Розглянемо застосування цієї теореми до розв’язування задач.

Задача 4. Знайдіть імовірність одночасного випадання герба на двох монетах при одному киданні двох монет.

Розв'язання

Подія А — «випав герб на першій монеті», Р(А) = .

Подія В — «випав герб на другій монеті», Р(В) = .

Оскільки події А і В незалежні, то

Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 5. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Імовірність влученнь у мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що обидва мисливці влучать у ціль.

Розвязання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

Подія С = А  В — «обидва мисливці влучили у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Задача 6. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного. Імовірність влучення в ціль відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що

а) лише один із мисливців влучить у ціль;

б) жодний із мисливців не влучить у ціль;

в) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

Розв'язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

а) С = А ∙  +  ∙ В — «лише один із мисливців влучив у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ ) + Р( ∙ В) = Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) = 0,7(1 - Р(В)) + (1 - Р(А)) ∙ 0,8 =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38;

б)  ∙  — «жоден із мисливців не влучив у ціль», тоді

P(D= Р( ∙ ) = Р() ∙ Р() = (1 - Р(А)) ∙ (1 - Р(В)) = (1 - 0,7) ∙ (1 - 0,8) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06;

в)  — «хоча б один із мисливців влучить у ціль»:

P(F= Р() = 1 - P(D= 1 - 0,06 = 0,94 (перший спосіб),

= А ∙  +  ∙ В + А В (другий спосіб), тоді

P(F=Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) + Р(А) ∙ Р(В) =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙0,8 + 0,7 ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 + 0,56 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.

Відповідь: а) 0,38; б) 0,06; в) 0,94.

Незалежні випробування. Схема Бернуллі

Взаємно незалежними називається такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.

Багато задач у теорії ймовірностей зводяться до такої схеми, яка називається схемою Бернуллі: відбувається n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A може настати чи не настати. Імовірність того, що випадкова подія А в кожному випробуванні відбувається, однакова і дорівнює р. а ймовірність того, що не відбувається, = 1 - р. Треба знайти ймовірність Рm,того, що подія А настане m разів у цих n випробуваннях. Шукану ймовірність можна обчислити за формулою Бернуллі

Pm, pmqn-m = pmqn-m.

Приклад 5. Імовірність того, що витрата електроенергії протягом доби не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,75. Знайдіть імовірність того, що в найближчі 6 діб витрати електроенергії впродовж 4 діб не перевищують норми.

Розв'язання

Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожних 6 діб постійна і дорівнює р = 0,75. Отже, імовірності перевитрати електроенергії в кожну добу також постійні і дорівнюють

= 1 - = 1 - 0,75 = 0,25.

Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює

P4,6 = p4q2 = p4q2 =  ∙ (0,75)4 ∙ (0,25)2 ≈ 0,3.

Відповідь: 0,3.

Приклад 6. Яка ймовірність того, що при 10 киданнях грального кубика 3 очки випадатимуть рівно 2 рази?

Розв’язання

У цій задачі n = 10, m = 2, р = q = 1 – p = 1 -  =  і тоді

P2,10 = ()2 ∙ ()8 =  ∙  ≈ 0,29.

Відповідь: 0,29.

Закон великих чисел

Теорема Бернуллі. Якщо в ряді випробувань імовірність деякої події залишається для кожного випробування сталою і дорівнює р, то при достатньо великій кількості випробувань практично вірогідно, що частота  появи події відрізняється від її ймовірності менше, ніж яке завгодно мале число  > 0.

Виконайте тест 31

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Із літер, написаних на окремих картах, склали слово «математика». Потім ці картки поміняли місцями, перетасували та взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що це буде картка з літерою A?

А

Б

В

Г

Д

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2. Із натуральних чисел від 1 до 20 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 20?

А

Б

В

Г

Д

3. Із натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число ділиться на 7 з остачею 1?

А

Б

В

Г

Д

4. Із натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число кратне числу 5?

А

Б

В

Г

Д

5. Із повного набору доміно (28 штук) виймають навмання одне. Яка ймовірність того, що це доміно буде дублем?

А

Б

В

Г

Д

6. У місті запроваджено семицифрову нумерацію телефонів. Пан Тарас має намір зателефонувати до пані Лариси, що проживає в іншому районі міста. Він пам’ятає, що усі цифри її телефонного номера різні, але забув три останні з них. Яка ймовірність того, що перша спроба пана Тараса набрати правильний номер буде вдалою?

А

Б

В

Г

Д

7. В автоматі містяться 100 пронумерованих жетонів (від 1 до 100). Знайдіть імовірність того, що номер навмання витягнутого жетона не має цифру 3.

А

Б

В

Г

Д

0,11

0,19

0,38

0,81

0,9

8. Задано цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6. Із них утворюють усі можливі шестицифрові числа використовуючи кожну цифру тільки один раз. Знайдіть імовірність того, що взяте навмання одне з чисел ділитиметься на 5.

А

Б

В

Г

Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між виразами для випадкових подій А, В, С (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1

A ∙ B ∙ 

А

Відбулася тільки одна подія В

2

A ∙ B ∙ C

Б

Не відбулася тільки подія С

3

A ∙  ∙ 

В

Відбулася тільки одна подія А

4

А + В + С

Г

Відбулися всі три події А, В, С

   

Д

Відбулася принаймні одна з подій А, В. С

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. У ящику містяться 4 білих, 5 червоних і кілька синіх кульок. Знайдіть загальну кількість кульок, якщо ймовірність витягти навмання одну синю дорівнює .

11. У скриньці лежать 5 білих і 3 чорних кульки. По черзі навмання виймають 2 кулі, причому взяту кулю в скриньку не повертають. Яка ймовірність того, що друга куля біла?

12. У магазині присутні 8 покупців. Імовірність здійснення покупки кожним із них дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що 3 з них здійснять покупку? Відповідь округліть до тисячних.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат доступні данні з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

У разі запозичення інформації гіпертекстове індексоване посилання на сайт є обов'язковим

© Всі права на дизайн сайту належать ФОП СЄА