Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 32. ВСТУП ДО СТАТИСТИКИ

Елементи статистики

Поняття про статистику

Статистика— наука, що збирає, обробляє і вивчає різні дані, пов'язані з масовими явищами, процесами, подіями.

Математична статистика — розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків.

Статистичне спостереження — це спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси.

Найпоширенішим серед видів статичних спостережень є вибіркове. У процесі вибіркового спостереження вивчається лише частина сукупності, відібрана спеціальним методом, яка називається вибіркою. Усю сукупність, із якої роблять вибірку, називають генеральною сукупністю. Число об’єктів генеральної сукупності й вибірки відповідно називають обсягом генеральної сукупності й обсягом вибірки.

Нехай із генеральної сукупності зроблено вибірку, причому х1спостерігалося n1 разів, х— n2, разів, х3 — n3 разів, хm — nm і n1 + n2 +... + nm = — обсяг вибірки. Значення х1, х2,..., хm називаються варіантами. послідовність варіант, записаних у зростаючому (спадному) порядку, — варіаційним рядом.

Числа спостережень n1n2, .... nm називають частотами, а їх відношення до обсягу вибірки  p1.

 p2 …  pm

— відносними частотами. Відзначимо, що сума відносних частот дорівнює 1:

p1 + p2 + … + pm +  +  + … +  =  =  = 1.

Статистичним рядом розподілу вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

Приклад 1. Перейти від частот до відносних частот у такому розподілі вибірки обсягом = 20.

Розвязання

Знайдемо відносні частота:

p1 =  = 0,15; p2 =  = 0,50; p3 =  = 0,35.

Тому одержуємо такий розподіл:

Для графічного зображення статистичного розподілу використовуються полігони і гістограми.

Для побудови полігону на осі ОХ відкладають значення варіант хi, на осі ординат — значення частот ni. Точки (хini) з’єднують відрізками прямих і одержують полігон частот.

Приклад 2. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот статистичного розподілу з прикладу 1.

На рис. 1 побудовано полігон частот, а на рис. 2 — полігон відносних частот. У випадку інтервального розподілу доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, у якому містяться всі значення ознаки, яка спостерігається, розбивають на кілька інтервалів довжиною і знаходять для кожного інтервалу nі — суму частот варіант, які попали в і-й інтервал.

Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висота дорівнює відношенню .

Площа і-го прямокутника дорівнює  = n1.

Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки. На рис. З подано гістограму за даними табл. 1.

Таблиця 1

Врожайність (ц/га)

21—23

23—25

25—27

21—24

29—31

31—33

33—35

Площа (га)

100

150

250

300

150

250

150

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Центральні тенденції вибірки

Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою і медіаною. Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень:

 =  або  =  (∑ — знак суми — «сигма» велика).

Мода вибірки — те її значення, яке трапляєтеся найчастіше (позначається М0).

Медіана вибірки — це число, яке ділите навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки (позначається Ме). Якщо кількість чисел у ряду парна, то медіана — середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Приклад 3. Нехай дано вибірку 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Знайдемо центральні тенденції вибірки.

Розв’язання

Мода даної вибірки Мo = 6, бо число 6 трапляється найчастіше. Середнє значення вибірки:

 =  =  = 5,3.

Відповідь: Мо = 6 5,3, Ме = 6.

її середніх значень:

Me =  = 6.

Приклад 4. Знайдемо центральні тенденції вибірки: 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.

Розв’язання

Упорядкуємо дану вибірку: 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15,15, 16, 17.

Мода даної вибірки: Мо = 13.

Середнє значення:  =  =  = 13,9.

Медіана даної вибірки: Ме =  =  = 13,5.

Відповідь: Мо = 13,  = 13,9, Ме = 13,5.

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: середнє арифметичне, середнє квадратичне, середнє геометричне.

Відхиленням значення хі від середнього значення  називається різниця хі -  .

У статистиці користуються показником — середнє квадратичне відхилення, яке знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; зі знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою  («сигма» мала):

 = 

У статистиці а2 називають дисперсією.

Середнє геометричне n додатних чисел х1, х2, ...,хn визначається за формулою mс = .

Приклад 5. Знайдемо середнє квадратичне відхилення значень вибірки: 5, 8, 10, 12, 17, 20.

Розв’язання

Знаходження середнього квадратичного подано в табл. 2.

Таблиця 2

Значення хі

Середнє арифметичне 

Відхилення хі - 

Квадрат відхилення (хі - )2

Середнє відхилення 

5

8

10

12

17

20

 

-7

-4

-2

0

5

8

49

16

4

0

25

64

 

 = 72

 =  = 12

) = 0

=158

 =  ≈ 5,13

Якщо вибірку задано статистичним рядом, то

 =  або  =  ;

 =  або  = 

Приклад 6. Для статистичного ряду  знайдемо  та .

Розв’язання

Обсяг вибірки n = 10. Середнє значення вибірки:  =  =  = 2,8.

Середнє квадратичне відхилення значень:

 =  =

 =  =  ≈ 2,7.

Відповідь:  = 2,8; а = 2,7.

Виконайте тест 32

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильнy, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Група з 10 школярів протягом літніх канікул перебувала в спортивному таборі. Після сезону зафіксували збільшення зросту дітей у сантиметрах: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4. Знайдіть середнє збільшення зросту одного школяра.

А

Б

В

Г

Д

2 см

2,1 см

2,2 см

2,3 см

2,4 см

2. У відділі взуття впродовж дня було продано 13 пар чоловічих черевиків таких розмірів: 42, 41, 44, 43, 44, 40, 43, 41, 45, 41, 40, 42, 39. Знайдіть моду цього ряду даних.

А

Б

В

Г

Д

45

43

42

41

39

3. В уривку з художнього твору 47 слів мають різну кількість букв. Укажіть моду даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігону частот.

А

Б

В

Г

Д

2

4

5

8

10

4. Група з 15 студентів написала контрольну роботу з вищої математики. Оцінки, одержані студентами, виявилися такими: 4, 2, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 3, 5, 3, 4, 4, 3. Укажіть полігон частот, що відповідає цьому ряду даних.

5. Середнє арифметичне 5 чисел дорівнює 300. Одне з цих чисел дорівнює 900. Знайдіть середнє арифметичне решти 4 чисел.

А

Б

В

Г

Д

300

200

250

150

100

6. Середня площа ділянок дорівнює 50 га. Яка середня площа 5 інших ділянок, якщо середня площа всіх 8 ділянок дорівнює 40 га?

А

Б

В

Г

Д

30 га

40 га

38 га

34 га

інша відповідь

7. На гістограмі наведено дані про вік робітників фірми за групами (див. рисунок). Користуючись гістограмою, визначте вікову групу, яку складає найбільша кількість робітників.

А

Б

В

Г

Д

18—23 роки

33—38 років

48—53 роки

28—33 роки

інша відповідь

8. Дано вибірку температури повітря (за Цельсієм) у вісім годин ранку1 протягом 6 днів:7; 10; 8; 7; 8; 8. Знайдіть середнє значення вибірки.

А

Б

Б

Г

Д

12

7

8

8,5

7,5

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між задачами (1 —4) та відповідями до них (А—Д).

1

Для вибірки 4; 5; 3; 2; 1; 2; 0; 7; 7; 8 знайдіть моду

А

2 і 7

2

Для вибірки 4; 5; 3; 2; 1; 2; 0; 7; 7; 8 знайдіть медіану

Б

3

3

Для вибірки 3; 8; 1; 3; 0; 5; 3; 1; 3; 5 знайдіть медіану

В

3,5

4

Дано 25 чисел. Серед них число 9 трапляється 12 разів, число 8 — 9 разів, а число 15 — 4 рази. Знайдіть їх середнє арифметичне

Г

9,6

   

Д

10

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Кращий гравець шкільної баскетбольної команди зіграв 4 гри і набрав за гру в середньому 25 очок. У трьох перших іграх він набрав 20, 29 і 23 очка. Скільки очок баскетболіст набрав у четвертій грі?

11. У фермерському господарстві «Надія» кожен рік озимою пшеницею засівають 600 га. Середня урожайність цієї культури у 2008 р. становила 24 ц/га. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2009 році озимої пшениці було зібрано на 19200 ц більше, ніжу 2008. Обчисліть середню врожайність озимої пшениці, вирощеної у господарстві «Надія» у 2009 р. (у ц/га).

12. Середній вік 11 футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки було років футболісту, який залишив поле?

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.