Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 1. ПОЧАТКОВІ ПОНЯТТЯ ПЛАНІМЕТРІЇ. ГЕОМЕТРИЧНА ФІГУРА. ПОНЯТТЯ ПРО АКСІОМИ І ТЕОРЕМИ, ПОНЯТТЯ ПРО ОБЕРНЕНУ ТЕОРЕМУ

Початкові поняття

Геометрія — це наука, яка вивчає властивості геометричних фігур. Прикладами геометричних фігур є трикутник, квадрат, коло (рис. 1). Pозділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині, називається планіметрією.

Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині.

Точка не мас розмірів. Уявлення про точку дає слід кінчика олівця на папері. Точки позначаються великими латинськими літерами А, В,С, D,... (рис. 2).

Уявлення про пряму дає натягнута нитка. Пряма нескінченна. Прямі позначають або однією латинською літерою: а, b, с, ... , або двома великими латинськими літерами, які лежать на прямій: А В, ВС,... (рис. 3).

Частина прямої, обмежена двома точками, називається відрізком. Точки, які обмежують відрізок, називають його кінцями. На рис. 4 зображено відрізок із кінцями в точках А і В. Такий відрізок позначають АВ або ВА.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Променем, або півпрямою, називається частина прямої, обмежена з однієї сторони точкою. На рис. 5 точка О обмежує пряму. Точка О називається початком променя. Промінь позначають або однією латинською літерою (промінь l), або двома великими латинськими літерами, перша із яких позначає початок променя, а друга— довільну точку на промені (промінь ОА, рис. 5). Точка О, яка лежить на прямій, поділяє її на два промені, напрями яких протилежні. Ці промені називають доповнювальними (рис. 6).

Геометрична фігура

Геометричною фігурою називається будь-яке утворення з точок. Геометричні фігури називаються рівними, якщо вони збігаються при накладанні. На рис. 7 зображено рівні відрізки АВ і CDЦе записується так: АВ = CD.

Рис. 7

Поняття про аксіоми і теореми

Геометрія вивчає властивості фігур, які виражаються різними твердженнями: означеннями, аксіомами, теоремами.

Означення — це твердження, яке пояснює дане поняття через уже відомі поняття.

Аксіома — це твердження, яке приймається на віру (без доведення). Наприклад:

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй (рис. 8).

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну (рис. 9).

3. Пряма розбиває площину на дві півплощини (рис. 10).

4. Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими (рис. 11).

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Теоремою називається твердження про властивість фігури, істинність якого встановлюється у результаті міркувань. Ці міркування називаються доведенням.

Наведемо приклад.

Теорема. Дві різні прямі можуть перетинатися тільки в одній точці.

Доведення

Якби дві різні прямі мали дві точки перетину, то через ці точки проходили б дві різні прямі. А це неможливо, оскільки через дві різні точки можна провести тільки одну пряму (аксіома 2). Отже, дві різні прямі не можуть мага дві різні точки перетину.

Попит ти про обернену теорему

Будь-яка теорема складається із двох частин: перша частина —умова (тобто те, що задано), друга частина — висновок (тобто те, що треба довести).

Приклад. Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (висновок).

Якщо поміняти місцями висновок і умову В теоремі, то одержимо теорему, обернену АО даної. Дану теорему називають прямою.

Наприклад: теорема «Якщо дві різні прямі мають спільну точку (умова), то вони перетинаються (висновок)» є оберненою до теореми «Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (висновок)».

Слід зазначити, що з істинності прямої теореми не завжди випливає справедливість (істинність) оберненого твердження.

Довжина відрізка та її властивості. Відстань між точками

Довжина відрізка та її властивості

Основні властивості вимірювання відрізків виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання відрізків

Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою, тобто якщо С — точка відрізка АВ (рис. 12), то АВ = АС + СВ.

Рис. 12

Знаходження довжини відрізка засноване на порівнянні його з деяким відрізком, який приймається за одиницю вимірювання. Вибравши одиницю вимірювання, можна знайти довжину будь-якого відрізка. На практиці для вимірювання довжин відрізків частіше за все використовують міліметр, сантиметр, дециметр, метр, кілометр. Ці одиниці вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, 1 км = 1000 м, 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм.

Рівні відрізки мають однакову довжину і навпаки: якщо відрізки мають однакову довжину, то вони рівні.

Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить його навпіл (тобто на два рівних відрізки).

На рис. 13 точка С — середина відрізка  АВ, оскільки АС = СВ (рівні відрізки на рисунках позначають однаковою кількістю рисок).

Основна властивість відкладання відрізків виражається аксіомою.

Рис. 13

Аксіома відкладання відрізків

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, причому тільки один.

Відстань між точками

Відстанню між точками А і В називається довжина відрізка АВ.

Відстань між точками має такі властивості.

1. Відстань між різними точками є величиною додатною.

2. Відстань від точки А до точки В дорівнює відстані від точки В до точки А, для будь-яких різних точок А і В виконується рівність: АВ = ВА.

3. Для будь-яких точок А, В, С відстань між двома точками менша або дорівнює сумі двох інших відстаней:

АВ ≤ АС + СВ ( рис. 14,15).

Рис. 14

Рис. 15

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки всього відрізків позначено на рисунку?

А

Б

В

Г

Д

4

8

6

10

12

2. Задано три точки А, В, С, причому АВ = 3 см, ВС = 4 см. АС = 5 см. Укажіть правильне твердження.

А

Б

В

Г

Д

Точки А, В, С лежать на одній прямій.

Точка В лежить між точками А і С.

Точки А, В, С не лежать на одній прямій.

Точка А лежить між точками В і С.

Точка С лежить між точками А і В.

3. Відрізок, довжина якого 50 см, розділений довільною точкою на два відрізки. Обчисліть відстань між серединами утворених відрізків.

А

Б

В

Г

Д

10 см

15 см

30 см

40 см

25 см

4. Відрізок, довжина якого 50 см, розділений трьома точками на чотири нерівні частини. Відстань між серединами крайніх частин — 30 см. Обчисліть відстань між серединами середніх частин відрізка

А

Б

В

Г

Д

5 см

10 см

15 см

20 см

25 см

5. Сума довжин двох відрізків дорівнює 12 см, а їх різниця — 2 см. Визначте довжину більшого відрізка.

А

Б

В

Г

Д

см

см

см

9 см

10 см

6. Відрізок довжиною а розділений натри рівні частини. Визначте, яку частину даного відрізка становить відстань між серединами першої і третьої утворених частин.

А

Б

В

Г

Д

7. Точки А, В,С лежать на одній прямій, АВ = 3 см, АС = 4 см. Якою є найменша відстань між точками В і С?

А

Б

В

Г

Д

1 см

3 см

4 см

7 см

8 см

8. Відрізок, довжина якого 50 см, розділений на три нерівні відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 30 см. Знайдіть довжину середнього відрізка

А

В

В

Г

Д

5 см

10 см

15 см

20 см

25 см

У завданні до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між поняттями (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1

Середина відрізка

А

Частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками

2

Півпряма або промінь

Б

Точка, що ділить даний відрізок на два рівних відрізки

3

Доповняльні промені

В

Частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки

4

Відрізок

Г

Будь-яка множина точок

   

Д

Різні півпрямі однієї й тієї самої прямої

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Довжина відрізка АВ дорівнює 18 см. Точка С лежить між точками А і В. Знайдіть ВС (у см), якщо АС - ВС = 4 см.

11. Відрізок, довжина якого дорівнює 47 см, розділений на три нерівні відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 26 см. Знайдіть довжину середнього відрізка.

12. Дано шість точок, ніякі три із яких не лежать на одній прямій. Скільки всього можна провести прямих, яким належать кожні дві дані точки?

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.