Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 2. КУТИ ТА ЇХ ВИДИ. ВЕЛИЧИНА КУТА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ. СУМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ

Кут

Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута). Кут позначається знаком ∠На рис. 1 зображено кут із вершиною О і сторонами ОА і О В. Цей кут позначається так: ∠AOB (літера, яка позначає вершину, завжди ставиться всередині) або ∠OНерідко кут позначається цифрою: ∠1. Кут називається розгорнутим, якщо кожна його сторона є продовженням іншої сторони (рис. 2). Два кути називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Наприклад: на рис. = ∠2.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Величина кут а та її властивості

Основні властивості вимірювання кутів виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання кутів

Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами, тобто якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB (рис. 4).

За одиницю вимірювання кутів приймається градус (позначається — 1°) — кут, який дорівнює  частині розгорнутого кута. Меншими одиницями вимірювання кутів є мінута (позначається знаком ') і секунда (позначається знаком "): 1° = 60', 1' = 60".

Додатне число, яке показує скільки разів градус і його частини вкладуються в даному куті, називається градусною мірою кута.

Рівні кути мають рівні градусні міри і навпаки: якщо кути мають рівні градусні міри, то кути рівні. Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (рис. 5); гостріш, якщо він менше 90° (рис. 6); тупим, якщо він більше 90°, але менше 180° (рис. 7).

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Бісектрисою кута називається промінь, який виходиш із вершини кута і поділяє його на два рівних кути. На рис. 8 промінь ОС — бісектриса кута АОВ, оскільки ∠AOC = ∠СОВ (рівні кути на рисунках позначають однаковими дужками).

Основна властивість відкладання кутів виражається аксіомою.

Аксіома відкладання кутів

   Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусного мірою, меншою за 180°, причому тільки один.

Суміжні і вертикальні кути та їх властивості

Оточення. Суміжними називаються два кута, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної.

На рис. 9 кута АОВ і ВОС — суміжні.

Суміжні кута мають таку властивість.

Теореми. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

AOB + ∠BOC = 180° (рис. 9), оскільки ∠AOB і ∠BО— суміжні.

Оточення. Вертикальними називаються два кута, у яких сторони одного кута є продовженням сторін другого.

На рис. 10 вертикальними кутами будуть ∠AOB і ∠CODAOC і ∠BOD.

Вертикальні кути мають таку властивість.

Теореми. Вертикальні кута рівні.

AOB = ∠COD, ∠AOC = ∠BOD (рис. 10), оскільки ∠AOB і ∠COD; ∠AOC і ∠BOD— вертикальні.

Рис. 9

Рис. 10

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Визначте кількість гострих кутів, зображених на рисунку.

А

Б

В

Г

Д

3

5

6

7

8

2. Який кут утворюють стрілки годинника, коли показують 3 год?

А

Б

В

Г

Д

гострий

прямий

тупий

розгорнутий

визначити

неможливо

3. Визначте величину кута, утвореного бісектрисами двох суміжних кутів.

А

Б

В

Г

Д

30°

90°

120°

180°

135°

4. Який кут є суміжним із кутом COD?

А

Б

В

Г

Д

СОВ

ВОА

СОА

BOD

DOA

5. Якщо один із суміжних кутів у 3 рази більше другого, то чому дорівнює більший кут?

А

Б

В

Г

Д

45°

180°

135°

90°

120°

6. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, удвічі менший суми трьох інших. Чому дорівнює найменший із цих кутів?

А

Б

В

Г

Д

30°

45°

60°

90°

120°

7. Бісектриса кута, величина якого 110°, з продовженням однієї з його сторін утворює кут. Визначте його градусну міру.

А

Б

В

Г

Д

110°

70°

55°

125°

135°

8. Різниця величин суміжних кутів дорівнює 20°. Визначте величину меншого кута.

А

Б

В

Г

Д

30°

70°

80°

90°

60°

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між указаними кутами (1—4) та їх величинами (А—Д).

1

Кут між бісектрисами двох суміжних кутів

А

45°

2

Кут між бісектрисами двох вертикальних кутів

Б

60°

3

Кут між бісектрисою прямого кута і стороною цього кута

В

90°

4

Кут між бісектрисою прямого кута і продовженням однією стороною цього кута

Г

135°

   

Д

180°

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Кут між бісектрисою кута і продовженням однієї з його сторін дорівнює 135°. Знайдіть величину даного кута

11. Величина кута АВС дорівнює 140°. Промінь BD лежить між сторонами кута АВС. Знайдіть величину ∠ABD (у градусах), якщо ∠ABD: ∠DBC = 2 : 5.

12. Від прямої АВ в різних півплощинах відкладено ∠BAC = 30° і ∠BAD = 70°. Знайдіть ∠CAD.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.