Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 3. ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ І ПРЯМІ, ЩО ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ

Дві прямі на площині можуть мати спільну точку або не мата спільних точок.

Дві прямі, які мають спільну ТОЧКУ, називаються прямими, що перетинаються.

Означення. Дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними (рис. 1).

Паралельність прямих позначається знаком ||. Паралельність прямих а і (рис. 1) записується так: а || b.

Рис. 1

Аксіома паралельних прямих

Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести в площині єдину пряму, паралельну даній прямій (рис. 2).

Рис. 2

Нехай прямі а і Ь перетинаються третьою прямою с (рис. 3), яка називається січною. Тоді утворюється вісім кутів, які мають спеціальні назви: кути 3, 4, 5, 6 — внутрішні, кути 1,2, 7, 8 — зовнішні.

Пари кутів 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8 називаються відповідними, пари кутів 3 і 6, 4 і 5 — внутрішніми різносторонніми, пари кутів 1 і 8, 2 і 7 — зовнішніми різносторонніми. Пари кутів 3 і 5, 4 і 6 називаються внутрішніми односторонніми, 1 і 7, 2 і 8 — зовнішніми односторонніми.

Рис. 3

Рис. 4

Якщо дві паралельні прямі а і перетнуті прямою с (рис. 4), то:

    1) внутрішні різносторонні кута рівні, тобто ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;

2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°;

3) відповідні кути рівні, тобто ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8;

4) зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ∠1 = ∠8, ∠2 = ∠7;

5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠1 + ∠7 = 180°, ∠2 + ∠8 = 180°.

Ознаки паралельності причтах

Дві прямі, паралельні третій, паралельні між Якщо а || b, а || с, то b || с (рис. 5).

Рис. 5

Якщо дві прямі а і перетинаються третьою прямою с, то прямі а і (див. рис. 4) паралельні, якщо:

1) внутрішні різносторонні кути рівні, тобто ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;

2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°;

3) відповідні кути рівні, тобто ∠1 = ∠5, або ∠2 = ∠6, або ∠3 = ∠7, або ∠4 = ∠8;

4) зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ∠1 = ∠8 або ∠2 = ∠7;

5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠1 + ∠7 = 180°, ∠2 + ∠8 = 180°.

Перпендикулярні прямі

Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

На рис. 6 зображено перпендикулярні прямі а і (позначення  b), оскільки ∠AOB = 90°.

Теорема. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, причому тільки одну (рис. 7).

Теорема. Через дану точку поза прямою можна провести перпендикулярну даній пряму, причому тільки одну (рис. 8).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Теореми про паралельність і перпендикулярність прямих

Теорема. Дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою.

Оскільки а ⊥ с, ⊥ с, то а ⊥ (рис. 9).

Теорема. Якщо одна із двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої, то і друга пряма перпендикулярна до третьої.

Оскільки а ⊥ b, а ⊥ с, то  c (рис. 9).

Рис. 9

Відстань від точки до прямої

Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на дану пряму.

На рис. 10 відстанню від точки А до прямої а є довжина перпендикуляра АО.

Відстанню між паралельними прямими називаються відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої.

На рис. 11 відстанню між паралельними прямими а і b є довжина відрізка AO (AO ⊥ b).

Відстані від усіх точок прямої до паралельної прямої — рівні.

Рис. 10

Рис. 11

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Укажіть правильне твердження.

А

Б

В

Г

Д

До будь-якої прямої, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної

Через точку поза прямої можна провести два перпендикуляри до даної прямої

Через точку прямої можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої

Через точку прямої не можна провести пряму, перпендикулярну до даної прямої

Через точку поза прямої не можна провести прямої, яка паралельна даній прямій

2. Розгляньте рисунок, на якому зображено дві прямі а і b, перетнуті прямою с. Як називаються кути 1 і 8?

А

Б

В

Г

Д

внутрішні

односторонні

внутрішні

різносторонні

зовнішні

односторонні

зовнішні

різносторонні

відповідні

3. На рисунку АВ ⊥ ВС, BD ⊥ АС. Яке із наведених тверджень правильне?

А

Б

В

Г

Д

Відстань від точки А до прямої ВС дорівнює АС.

Відстань від точки А до прямої BDдорівнює AD.

Відстань від точки С до прямої АВ дорівнює АС.

Відстань від точки В до прямої АС дорівнює ВС.

Відстань від точки В до прямої АС дорівнює АВ.

4. Різниця між величинами двох внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих а і b та січній с дорівнює 40°. Обчисліть величину більшого з цих кутів.

А

Б

В

Г

Д

70°

100°

110°

120°

90°

5. На рисунку паралельні прямі а і b перетнуто прямою с; ∠дорівнює 50°. Знайдіть величину ∠2.

А

Б

В

Г

Д

30°

40°

50°

60°

90°

6. На рисунку паралельні прямі а і b перетнуто прямою с; ∠дорівнює 50°. Знайдіть величину ∠3.

А

Б

В

Г

Д

120°

130°

140°

150°

160°

7. Дві прямі перетинаються і утворюють чотири кути. Різниця двох утворених кутів дорівнює 60°. Знайдіть гострий кут між прямими.

А

Б

В

Г

Д

30°

45°

50°

60°

75°

8. Через вершину кута 40° проведено прямі, перпендикулярні до його сторін. Обчисліть величину меншого з кутів, утворених при перетині цих перпендикулярних прямих.

А

Б

В

Г

Д

80°

90°

140°

40°

20°

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між поняттями (1—1) та їх означеннями (А—Д).

1

Перпендикулярні прямі

А

Довжина перпендикуляра. проведеного з даної точки до прямої

2

Перпендикуляр до даної прямої, проведений з даної точки

Б

Прямі, які перетинаються під прямим кутом

3

Паралельні прямі

В

Відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним із своїх кінців точку їх перетину, а другим кінцем —дану точку

4

Відстань від точки до прямої

Г

Дві прямі, які перетинаються

   

Д

Дві прямі, які не перетинаються

Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Паралельні прямі а і b перетнуто прямою с. Сума двох із утворених восьми кутів дорівнює 30°. Знайдіть тупий кут між прямими а і с.

11. Паралельні прямі а і перетнуто прямою с. Різниця двох із утворених восьми кутів дорівнює 30°. Знайдіть гострий кут між прямими а і с.

12. Паралельні прямі а і перетнуто прямою с. Різниця двох із утворених восьми кутів дорівнює 30°. Знайдіть тупий кут між прямими а і с.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити