Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ
Тема 6. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА
Поняття про подібність фігур
Фігура F1 називається подібною до фігури F(F1 ~ F). якщо існує відображення фігури F на фігуру F1, при якому для будь-яких двох точок А і B фігури F тa їх образів A1 і В1фігури F1, відношення відстаней АВ і А1В1 є величиною сталою (рис. 1).
Число k = називають коефіцієнтом подібності.
У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутниках ABC і А1В1С1 (рис. 2):
∠A = A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1;
Рис. 1
Рис. 2
=
=
.
Ознаки подібності трикутників
Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами)
Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 3).
Друга ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом між нами)
Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники є подібними (рис. 4).
=
Рис. 3
Рис. 4
Третя ознака подібності трикутників (за трьома сторонами) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 5).
=
=
Рис. 5
Теорема Піфагора та її наслідки
Теореми. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів. На рис. 6 АВ2 = АС2 + ВС2, або с2 = а2 + b2.
Наслідки з теореми Піфагора
1. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.
2. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого катета.
а2 = с2 - b2, b2 = с2 - а2.
Рис. 6
3. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. На рис.7
S = S1 + S2.
Теореми, обернена до теореми Піфагора
Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник є прямокутним.
Рис. 7
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’яте варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть його діагональ (у см).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5 см |
7 см |
10 см |
14 см |
15 см |
2. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 15 см і 20 см. Знайдіть найбільшу сторону подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 90 см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
20 см |
30 см |
40 см |
50 см |
60 см |
3. У трикутнику АВС (див. рисунок) ∠B = 90°, BD ⊥ АС. Яке твердження правильне?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
∠BAD = ∠ABD |
∠АО ≠ ∠DBC |
∆ABD неподібний ∆BCD |
∆ABD ~ ∆АСВ |
∆ABD неподібний ∆АСВ |
4. У трикутнику ABC АВ = а, АС = b. MF || АС, MF = c. Знайдіть AM.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює а.
A |
Б |
В |
Г |
Д |
6. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, якщо його медіана дорівнює m.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
7. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до сторони, яка дорівнює 14 см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
11 см |
11 |
12 см |
12 |
13 см |
8. Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють а і Ь, то медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює
A |
Б |
В |
Г |
Д |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між умовами задач (1—4) та їх відповідями (А—Д).
1 |
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу |
А |
3 см |
2 |
Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 4 см і 5 см |
Б |
4 см |
3 |
Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, якщо основа дорівнює 6 см, а бічна сторона — 5 см |
В |
6 см |
4 |
Похила, довжина якої дорівнює 10 см, має проекцію 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра |
Г |
8 см |
Д |
10 см |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 70 см, а проведена до неї висота — 12 см. Знайдіть периметр трикутника
11. У сонячний день довжина тіні від дерева становить 16 м. У той самий час тінь від хлопчика який має зріст 1,5 м, дорівнює 2 м (див. рисунок). Визначте висоту дерева
12. У трикутнику ABC АВ = 4 см. Точка D належить стороні ВС, причому BD = 1 см, DC = 15 см, AD = 3,5 см. Знайдіть довжину сторони АС (у см).
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.