ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 6. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

Поняття про подібність фігур

Фігура F₁ називається подібною до фігури F(F₁ ~ F). якщо існує відображення фігури F на фігуру F₁, при якому для будь-яких двох точок А і B фігури  F тa їх образів A₁ і В₁фігури F₁, відношення відстаней АВ і А₁В₁ є величиною сталою (рис. 1).

Число k =  називають коефіцієнтом подібності.

У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутниках ABC і А₁В₁С₁ (рис. 2):

∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁;

Рис. 1

Рис. 2

 =  = .

Ознаки подібності трикутників

Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами)

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 3).

Друга ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом між нами)

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники є подібними (рис. 4).

 = 

Рис. 3

Рис. 4

Третя ознака подібності трикутників (за трьома сторонами) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 5).

 =  = 

Рис. 5

Теорема Піфагора та її наслідки

Теореми. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів. На рис. 6 АВ² = АС² + ВС², або с² = а² + b².

Наслідки з теореми Піфагора

1. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.

2. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого катета.

а² = с² - b², b² = с² - а².

Рис. 6

3. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. На рис.7

 S = S₁ + S₂.

Теореми, обернена до теореми Піфагора

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник є прямокутним.

Рис. 7

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’яте варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть його діагональ (у см).

А	Б	В	Г	Д
5 см	7 см	10 см	14 см	15 см

2. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 15 см і 20 см. Знайдіть найбільшу сторону подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 90 см.

А	Б	В	Г	Д
20 см	30 см	40 см	50 см	60 см

3. У трикутнику АВС (див. рисунок) ∠B = 90°, BD ⊥ АС. Яке твердження правильне?

А	Б	В	Г	Д
∠BAD = ∠ABD	∠АО ≠ ∠DBC	∆ABD неподібний ∆BCD	∆ABD ~ ∆АСВ	∆ABD неподібний ∆АСВ

4. У трикутнику ABC АВ = а, АС = b. MF || АС, MF = c. Знайдіть AM.

А	Б	В	Г	Д

5. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює а.

A	Б	В	Г	Д

6. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, якщо його медіана дорівнює m.

А	Б	В	Г	Д

7. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до сторони, яка дорівнює 14 см.

А	Б	В	Г	Д
11 см	11  см	12 см	12  см	13 см

8. Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють а і Ь, то медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює

A	Б	В	Г	Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між умовами задач (1—4) та їх відповідями (А—Д).

1	Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу	А	3 см
2	Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 4 см і 5 см	Б	4 см
3	Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, якщо основа дорівнює 6 см, а бічна сторона — 5 см	В	6 см
4	Похила, довжина якої дорівнює 10 см, має проекцію 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра	Г	8 см
		Д	10 см

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 70 см, а проведена до неї висота — 12 см. Знайдіть периметр трикутника

11. У сонячний день довжина тіні від дерева становить 16 м. У той самий час тінь від хлопчика який має зріст 1,5 м, дорівнює 2 м (див. рисунок). Визначте висоту дерева

12. У трикутнику ABC АВ = 4 см. Точка D належить стороні ВС, причому BD = 1 см, DC = 15 см, AD = 3,5 см. Знайдіть довжину сторони АС (у см).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.