ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 12. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ГОСТРОГО КУТА ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА

Синус, косинус, тангенс і котангенс гострого куга прямокутною трикутника

Синусом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, протилежного куту а, до гіпотенузи (рис. 1):

sina = .

Косинусом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута а, до гіпотенузи (рис. 1):

cosa = .

Рис. 1

Тангенсам гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, протилежного куту а, до катета, прилеглого до кута а (рис. 1):

tga = .

Котангенсом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута а, до катета, протилежного куту а (рис. 1):

ctga = .

Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких кутів подано в таблиці.

Кута\Функція	0°	30°	45°	60°	90°
sin a	0				1
cos a	1				0
tg a	0		1		не існує
ctg a	не існує		1		0

З означення sina, cosa, tga, ctga випливають такі правила

1. Невідомий катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус кута, протилежного невідомому катету, або на косинус кута, прилеглого до невідомого катета (рис. 2):

а = csina = ccosβ, b= csinβ= ccosa.

Рис. 2

2. Невідомий катет дорівнює добутку другого катета на тангенс кута, протилежного невідомому катету, або на котангенс кута, прилеглого до невідомого катета (рис. 2):

а = b ∙ tga = b ∙ ctgβ, b = a ∙ tgβ = a ∙ ctga.

Основні тригонометричні тотожності

sin²a + cos²a = 1, tg a = , ctga = ,

tga ∙ ctga = 1, 1 + tg² a = , 1 + ctg²a = , де 0° < а < 90°.

При зростанні гострого кута синус та тангенс кута зростають, а косинус та котангенс — спадають. Дія будь-якого кута а прямокутного трикутника:

sin(90°- a)= cosa, cos(90° - a) = sina, tg(90° - a)= ctga, ctg(90°- a) =  tga.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Користуючись рисунком, знайдіть cos А.

А	Б	В	Г	Д
				1

2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть тангенс куга прилеглого до меншого катета.

А	Б	В	Г	Д

3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Знайдіть синус кута, протилежного більшому катету.

А	Б	В	Г	Д

4. Знайдіть tg 30°.

А	Б	В	Г	Д
				2

5. Знайдіть значення виразу 2sin 60°.

А	Б	В	Г	Д
1	2			2

6. У прямокутному трикутнику ABC (∠A = 90°) ВС = 4 см, ∠B = β. Знайдіть АС.

А	Б	В	Г	Д
4sin	4cos β	4tg β

7. У прямокутному трикутнику ABC (∠B = 90°) ВС= 10 см, ∠A = а. Знайдіть АВ.

А	Б	В	Г	Д
		10tga		10sina

8. У прямокутному трикутнику ABC (∠B = 90°) ВС = 2 CM, ∠C = γ. Знайдіть АС.

А	Б	В	Г	Д
			2tgγ	2cosγ

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між виразом (1—4) та його числовим значенням (А—Д).

1	sin30° + tg45°	Ф	1 -
2	cos 30° - cos60°	Б	0
3	sin 45°- cos 60°	В	1
4	2sin60°- tg60°	Г	1
		Д

Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Діагональ прямокутника дорівнює 12 см і утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть периметр прямокутника (у см). Ураховуйте, що  ≈ 1,7. Відповідь округліть до цілих.

11. Більша діагональ ромба дорівнює 3  , а гострий кут ромба дорівнює 60°. Знайдіть сторону ромба.

12. Катет прямокутного трикутника дорівнює 9 см, а прилеглий до нього кут — 60°. Знайдіть довжину (у см) бісектриси трикутника, проведеної з вершини цього кута.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.