Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ
Тема 12. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ГОСТРОГО КУТА ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА
Синус, косинус, тангенс і котангенс гострого куга прямокутною трикутника
Синусом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, протилежного куту а, до гіпотенузи (рис. 1):
sina = .
Косинусом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута а, до гіпотенузи (рис. 1):
cosa = .
Рис. 1
Тангенсам гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, протилежного куту а, до катета, прилеглого до кута а (рис. 1):
tga = .
Котангенсом гострого кута а прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута а, до катета, протилежного куту а (рис. 1):
ctga = .
Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких кутів подано в таблиці.
Кута\Функція |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
sin a |
0 |
|
|
|
1 |
cos a |
1 |
|
|
|
0 |
tg a |
0 |
|
1 |
|
не існує |
ctg a |
не існує |
|
1 |
|
0 |
З означення sina, cosa, tga, ctga випливають такі правила
1. Невідомий катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус кута, протилежного невідомому катету, або на косинус кута, прилеглого до невідомого катета (рис. 2):
а = csina = ccosβ, b= csinβ= ccosa.
Рис. 2
2. Невідомий катет дорівнює добутку другого катета на тангенс кута, протилежного невідомому катету, або на котангенс кута, прилеглого до невідомого катета (рис. 2):
а = b ∙ tga = b ∙ ctgβ, b = a ∙ tgβ = a ∙ ctga.
Основні тригонометричні тотожності
sin2a + cos2a = 1, tg a = , ctga =
,
tga ∙ ctga = 1, 1 + tg2 a = , 1 + ctg2a =
, де 0° < а < 90°.
При зростанні гострого кута синус та тангенс кута зростають, а косинус та котангенс — спадають. Дія будь-якого кута а прямокутного трикутника:
sin(90°- a)= cosa, cos(90° - a) = sina, tg(90° - a)= ctga, ctg(90°- a) = tga.
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Користуючись рисунком, знайдіть cos А.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
1 |
2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть тангенс куга прилеглого до меншого катета.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Знайдіть синус кута, протилежного більшому катету.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
4. Знайдіть tg 30°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
2 |
5. Знайдіть значення виразу 2sin 60°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
2 |
|
|
2 |
6. У прямокутному трикутнику ABC (∠A = 90°) ВС = 4 см, ∠B = β. Знайдіть АС.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
4sin |
4cos β |
4tg β |
|
|
7. У прямокутному трикутнику ABC (∠B = 90°) ВС= 10 см, ∠A = а. Знайдіть АВ.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
10tga |
|
10sina |
8. У прямокутному трикутнику ABC (∠B = 90°) ВС = 2 CM, ∠C = γ. Знайдіть АС.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
2tgγ |
2cosγ |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між виразом (1—4) та його числовим значенням (А—Д).
1 |
sin30° + tg45° |
Ф |
1 - |
2 |
|
Б |
0 |
3 |
|
В |
1 |
4 |
2sin60°- tg60° |
Г |
1 |
Д |
|
Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Діагональ прямокутника дорівнює 12 см і утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть периметр прямокутника (у см). Ураховуйте, що ≈ 1,7. Відповідь округліть до цілих.
11. Більша діагональ ромба дорівнює 3 , а гострий кут ромба дорівнює 60°. Знайдіть сторону ромба.
12. Катет прямокутного трикутника дорівнює 9 см, а прилеглий до нього кут — 60°. Знайдіть довжину (у см) бісектриси трикутника, проведеної з вершини цього кута.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.