Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 13. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДОВІЛЬНИХ ТРИКУТНИКІВ

Теореми синусів і косинусів

Теореми косинусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Наприклад: у ABC (рис. 1)а2 = с1 + b2 -2bc cosab2 = а2 +с2 -2ас cos β, с2 = а2 + b- 2ab cosγ.

Теореми синусів. У довільному трикутнику відношення будь-якої сторони до синуса протилежного кута стале і дорівнює діаметру описаного

навколо нього кола (рис. 2):

 =  =  =2R.

Рис. 1

Варто пам’ятати, що синуси суміжних кутів рівні, а їх косинуси — протилежні числа:

sin(180° - a) = sina, cos(180° - a) = - cosa.

Рис. 2

Poзв’язyвання трикутників

Розв’язуванням трикутників називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) за будь-якими трьома даними елементами, що визначають трикутник.

Розгляньмо три задачі на розв’язування трикутників. При цьому будемо користуватися такими позначеннями для сторін трикутника ABCАВ = с, ВС = а, СА = b (див. рисунок 1).

Задача 1. Дано: ab∠С. Знайти: с, ∠А, ∠В (розв'язування трикутника за двома сторонами і кутам між ними).

Розв’язання

За теоремою косинусів знаходимо с:

c = .

Користуючись теоремою косинусів, маємо:

cos A = ,  ∠А = arcos = .

Далі ∠В = 180° - ∠А - ∠С.

Задачи 2. Дано: а, ∠В, ∠С. Знайти: ∠А, b, с (розв'язування трикутника за стороною і двома прилеглими кутами).

Розв’язання

∠А — 180° - ∠В - ∠С. За теоремою синусів знаходимо b і с:

b = a; c = a.

Задача 3. Дано: а, b, с. Знайти: ∠А, ∠В, ∠С (розв'язування трикутника за трьома сторонами).

Розв’язання

Користуючись теоремою КОСИНУСІВ, знаходимо:

cos A = , звідси ∠А = arcos = .

Аналогічно знаходимо АВ. Тоді АС = 180° - ∠А - ∠В.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Дві сторони трикутника дорівнюють Vсм і 1 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть третю сторону трикутника.

А

Б

В

Г

Д

1 см

 см

 см

2 см

3 см

2. Виміряти відстань безпосередньо між точками А і В перешкоджає ставок. Для знаходження відстані АВ виміряли відстані від точок А і В до певної точки С та кут АСВ. Обчисліть відстань АВ. якщо були одержані такі результати вимірювань: АС = 30м, ВС = 50 м, ∠ACB = 120°.

А

Б

В

Г

Д

90 м

85 м

80 м

75 м

70 м

3. Сторони трикутника дорівнюють 1 см, 3  см і 5 см. Знайдіть найбільший кут трикутника

А

Б

В

Г

Д

90°

120°

135°

150°

175°

4. Сторони трикутника, одна з яких удвічі більша за другу, утворюють 120°, а довжина третьої сторони дорівнює 3 . Знайдіть найменшу сторону трикутника.

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

5

5. Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут — 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

А

Б

В

Г

Д

30 см

25 см

20 см

15 см

10 см

6. Два кути трикутника дорівнюють 30° і 45°. Знайдіть сторону, протилежну куту 30°, якщо сторона, протилежна куту 45°, дорівнює  см.

А

Б

В

Г

Д

1 см

2 см

3 см

 см

 см

7. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює я, а кут при основі — 26- Знайдіть бісектрису, проведену до бічної сторони.

А

Б

В

Г

Д

 

 

 

8. Якщо кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 3, то відношення відповідних сторін трикутника є таким

А

Б

В

Г

Д

1 : 2 : 3

1 :  : 

1 : 2 : 

1 :  : 2

1 :  : 3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між виразом (1—4) та його числовим значенням (А—Д).

1

sin 135°

А

-

2

cos 135°

Б

 

3

cos 150°

В

-

4

cos 180°

Г

0

   

Д

-1

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 1 см, а кут між ними становить 135°. Знайдіть третю сторону (у см).

11. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 7 см, 5 см. Знайдіть кут (у градусах), який лежить проти найменшої сторони.

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 6 см. Знайдіть третю сторону (у см).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.