Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ
Тема 15. ТРАПЕЦІЇ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ. ВПИСАНІ І ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ
Трапецій і а її властивості
Трапецією називаєтеся чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.
Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні сторони — бічними. На рис. 1 чотирикутник ABCD— трапеція, оскільки AD || ВС АВ ∦ СD сторони ВС і AD — основи трапеції, АВ і CD — бічні сторони трапеції.
Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї з основ на пряму, що містить другу основу (або відстань між основами трапеції).
Рис. 1
На рис. 2 MN — висота трапеції ABCD.
Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.
На рис. 2KL — середня лінія.
Властивості трапеції
1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.
На рис. 1 
A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.
2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Нарис.2KL || AD,KL || ВС, KL = 
.
Рис. 2
Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною (рівнобедреною) трапецією.
На рис. З зображено рівнобічну трапецію ABCD.
Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічнім трапеції (рис. 3):
1. Кута при основі рівні: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.
2. Діагоналі рівні: АС = BD.
Рис. 3
Прямокутною називають трапецію, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ (рис. 4). Ця бічна сторона є висотою трапеції.
Якщо у рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії (рис. 5):
BН = 
.
Рис. 4
Рис. 5
Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції (рис. 6).
Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами (рис. 7):
Рис. 6
Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії (рис. 7):
AB = CD = .
Рис. 7
Властивості чотирикутників
Вписаного в коло (рис. 8) Описаного навколо кола (рис. 9)
∠A + ∠C = 180° = ∠B + ∠D а + с = b + d
ас + bd = k1k2 — теорема Птолемея
S = p ∙ r, де p = 
Рис. 8
Рис. 9
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться як 2 : 3, а різниця основ дорівнює 10 см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
10 см |
15 см |
20 см |
25 см |
30 см |
2. Сума довжин двох протилежних сторін описаного навколо кола чотирикутника дорівнює 45 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника (у см).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
70 см |
80 см |
90 см |
100 см |
110 см |
3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть радіус кола, описаного в трапеції (у см).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
10 см |
12 см |
11 см |
13 см |
15 см |
4. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть більшу основу трапеції (у см), якщо основи відносяться як 1 : 5.
А |
В |
В |
Г |
Д |
5 см |
10 см |
15 см |
20 см |
25 см |
5. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобедрену трапецію АВСD (АВ || CD), якщо АВ = 4, CD = 16.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
4 |
8 |
12 |
14 |
16 |
6. У трапеції, описаній навколо кола, бічні сторони дорівнюють 5 см і 7 см. Знайдіть довжину (у см) середньої лінії трапецiї.
А |
В |
В |
Г |
Д |
4 см |
5 см |
6 см |
7 см |
8 см |
7. У рівнобічній трапеції довжини основ дорівнюють 21 см і 9 см, а висота становить 8 см. Знайдіть радіус описаного навколо трапеції кола (у см).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
10 см |
10,625 см |
9,125 см |
9 см |
11 см |
8. Рівнобедрена трапеція MNPQ (MN || PQ) (див. рисунок) описана навколо кола. Відомо, що MN = 2, PQ = 18. Знайдіть радіус кола
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між задачами (1 —4) та їх відповідями (А—Д).
1 |
Знайдіть периметр рівнобедреної трапеції, якщо гострий кут дорівнює 60, а довжини основ становлять 6 см і 5 см відповідно |
А |
8 см |
2 |
Одна з основ трапеції на 2 см менша ніж друга. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 15 см |
Б |
10 см |
3 |
Одна з основ трапеції становить третину від другої. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 20 см |
В |
12 см |
4 |
Середня лінія трапеції дорівнює 10 см, а одна з основ — 8 м. Знайдіть другу основу трапеції |
Г |
14 см |
Д |
12 см |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 6 см і 12 см. Обчисліть периметр трапеції, у см.
11. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 3 см і 1 см, а площа трапеції дорівнює 2 см2. Знайдіть гострий кут трапеції (у градусах).
12. Більша основа трапеції дорівнює 18. Знайдіть її меншу основу, якщо відстань між серединами діагоналей дорівнює 4.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
