ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 15. ТРАПЕЦІЇ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ. ВПИСАНІ І ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Трапецій і а її властивості

Трапецією називаєтеся чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні сторони — бічними. На рис. 1 чотирикутник ABCD— трапеція, оскільки AD || ВС АВ ∦ СD сторони ВС і AD — основи трапеції, АВ і CD — бічні сторони трапеції.

Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї з основ на пряму, що містить другу основу (або відстань між основами трапеції).

Рис. 1

На рис. 2 MN — висота трапеції ABCD.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

На рис. 2KL — середня лінія.

Властивості трапеції

1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

На рис. 1 A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.

2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Нарис.2KL || AD,KL || ВС, KL = .

Рис. 2

Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною (рівнобедреною) трапецією.

На рис. З зображено рівнобічну трапецію ABCD.

Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічнім трапеції (рис. 3):

1. Кута при основі рівні: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

2. Діагоналі рівні: АС = BD.

Рис. 3

Прямокутною називають трапецію, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ (рис. 4). Ця бічна сторона є висотою трапеції.

Якщо у рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії (рис. 5):

BН = .

Рис. 4

Рис. 5

Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції (рис. 6).

Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами (рис. 7):

Рис. 6

Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії (рис. 7):

AB = CD = .

Рис. 7

Властивості чотирикутників

Вписаного в коло (рис. 8)   Описаного навколо кола (рис. 9)

∠A + ∠C = 180° = ∠B + ∠D              а + с = b + d

ас + bd = k₁k₂ — теорема Птолемея

S = p ∙ r, де p = 

Рис. 8

Рис. 9

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться як 2 : 3, а різниця основ дорівнює 10 см.

А	Б	В	Г	Д
10 см	15 см	20 см	25 см	30 см

2. Сума довжин двох протилежних сторін описаного навколо кола чотирикутника дорівнює 45 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника (у см).

А	Б	В	Г	Д
70 см	80 см	90 см	100 см	110 см

3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть радіус кола, описаного в трапеції (у см).

А	Б	В	Г	Д
10 см	12 см	11 см	13 см	15 см

4. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть більшу основу трапеції (у см), якщо основи відносяться як 1 : 5.

А	В	В	Г	Д
5 см	10 см	15 см	20 см	25 см

5. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобедрену трапецію АВСD (АВ || CD), якщо АВ = 4, CD = 16.

А	Б	В	Г	Д
4	8	12	14	16

6. У трапеції, описаній навколо кола, бічні сторони дорівнюють 5 см і 7 см. Знайдіть довжину (у см) середньої лінії трапецiї.

А	В	В	Г	Д
4 см	5 см	6 см	7 см	8 см

7. У рівнобічній трапеції довжини основ дорівнюють 21 см і 9 см, а висота становить 8 см. Знайдіть радіус описаного навколо трапеції кола (у см).

А	Б	В	Г	Д
10 см	10,625 см	9,125 см	9 см	11 см

8. Рівнобедрена трапеція MNPQ (MN || PQ) (див. рисунок) описана навколо кола. Відомо, що MN = 2, PQ = 18. Знайдіть радіус кола

А	Б	В	Г	Д
2	3	4	5	6

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між задачами (1 —4) та їх відповідями (А—Д).

1	Знайдіть периметр рівнобедреної трапеції, якщо гострий кут дорівнює 60, а довжини основ становлять 6 см і 5 см відповідно	А	8 см
2	Одна з основ трапеції на 2 см менша ніж друга. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 15 см	Б	10 см
3	Одна з основ трапеції становить третину від другої. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 20 см	В	12 см
4	Середня лінія трапеції дорівнює 10 см, а одна з основ — 8 м. Знайдіть другу основу трапеції	Г	14 см
		Д	12 см

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 6 см і 12 см. Обчисліть периметр трапеції, у см.

11. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 3 см і 1 см, а площа трапеції дорівнює 2 см2. Знайдіть гострий кут трапеції (у градусах).

12. Більша основа трапеції дорівнює 18. Знайдіть її меншу основу, якщо відстань між серединами діагоналей дорівнює 4.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.