Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 15. ТРАПЕЦІЇ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ. ВПИСАНІ І ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Трапецій і а її властивості

Трапецією називаєтеся чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні сторони — бічними. На рис. 1 чотирикутник ABCD— трапеція, оскільки AD || ВС АВ ∦ СD сторони ВС і AD — основи трапеції, АВ і CD — бічні сторони трапеції.

Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї з основ на пряму, що містить другу основу (або відстань між основами трапеції).

Рис. 1

На рис. 2 MN — висота трапеції ABCD.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

На рис. 2KL — середня лінія.

Властивості трапеції

1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

На рис. 1 A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.

2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Нарис.2KL || AD,KL || ВС, KL = .

Рис. 2

Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною (рівнобедреною) трапецією.

На рис. З зображено рівнобічну трапецію ABCD.

Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічнім трапеції (рис. 3):

1. Кута при основі рівні: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

2. Діагоналі рівні: АС = BD.

Рис. 3

Прямокутною називають трапецію, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ (рис. 4). Ця бічна сторона є висотою трапеції.

Якщо у рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії (рис. 5):

BН = .

Рис. 4

Рис. 5

Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції (рис. 6).

Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами (рис. 7):

Рис. 6

Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії (рис. 7):

AB = CD = .

Рис. 7

Властивості чотирикутників

Вписаного в коло (рис. 8) Описаного навколо кола (рис. 9)

∠A + ∠C = 180° = ∠B + ∠D  а + с = b + d

ас + bd = k₁k₂ — теорема Птолемея

S = p ∙ r, де p =

Рис. 8

Рис. 9

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться як 2 : 3, а різниця основ дорівнює 10 см.

2. Сума довжин двох протилежних сторін описаного навколо кола чотирикутника дорівнює 45 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника (у см).

3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть радіус кола, описаного в трапеції (у см).

4. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть більшу основу трапеції (у см), якщо основи відносяться як 1 : 5.

5. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобедрену трапецію АВСD (АВ || CD), якщо АВ = 4, CD = 16.

6. У трапеції, описаній навколо кола, бічні сторони дорівнюють 5 см і 7 см. Знайдіть довжину (у см) середньої лінії трапецiї.

7. У рівнобічній трапеції довжини основ дорівнюють 21 см і 9 см, а висота становить 8 см. Знайдіть радіус описаного навколо трапеції кола (у см).

8. Рівнобедрена трапеція MNPQ (MN || PQ) (див. рисунок) описана навколо кола. Відомо, що MN = 2, PQ = 18. Знайдіть радіус кола

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між задачами (1 —4) та їх відповідями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 6 см і 12 см. Обчисліть периметр трапеції, у см.

11. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 3 см і 1 см, а площа трапеції дорівнює 2 см2. Знайдіть гострий кут трапеції (у градусах).

12. Більша основа трапеції дорівнює 18. Знайдіть її меншу основу, якщо відстань між серединами діагоналей дорівнює 4.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити