ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 19. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

Декартові координат. Визначення декартових координат на площині

Декартова система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями (вісь ОХ — вісь абсцис, вісь ОУ — вісь ординат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб осей (див. рис 1).

Кожній точці площини за певним правилом ставиться у відповідність пара чисел — абсциса та орди нага (х; у). Ці числа називаються декартовими координатами точки.

Рис. 1

Правило визначення де картав их координат па площині

Через точку А проводимо пряму, паралельну осі ординат (ОУ), до перетину її з віссю абсцису точці х_А. Число х, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки х_А називається абсцисою точки А.

Через точку А проводимо пряму, паралельну осі абсцис (ОХ), до перетину її з віссю ординат у точці у_А. Число у, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки у_А, називається ординатою точки А.

Декартові координати точки записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А(х; у), причому першою в дужках стоїть абсциса, другою — ордината.

Початок координат О розділяє кожну вісь на дві піввісі, одна з яких вважається додатною, інша — від’ємною.

На рис. 1 точка А має координати 3 і 2, точка В — координати -2 і -2.

Будь-якій парі чисел х і у відповідає лише одна точка площини A (х; у).

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниці, однойменних координат.

Відстань міме двома точками на площині

d = .

де d — відстань (рис. 2) між тoчкою А₁ із координатами (х₁;у₁)і точкою А₂ із координатами (X₂; у₂).

Рис. 2

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини відрізка на площині Координат (х_С ∙ у_С ) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

x_C = ; y_C = .

де (х₁;у₁) і (х₂;у₂) — координат точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка (рис. 3).

Рис. 3

Рівняння фігури

Рівнянням фігури в декартових координатах на площині називається рівняння із двома невідомими х, у, які задовольняють координат будь-якої точки фігури, і тільки вони.

Рівняння кола

Якщо на площині задано деяку точку з координатами С (а; b), що є центром кола, а також радіус R (рис. 4), то рівняння кола має вигляд

(х - a) + (у - b) = R².

Якщо центром кола є початок координат (рис. 5), то маємо

х² +y² = R².

Рис. 4

Рис. 5

Рівняння прямої

Загальне повне рівняння будь-якої прямої у декартових координатах х, у має вигляд

ах + bу + с = 0,

де а, b, с — деякі числа (рис. 6, а).

Якщо хоч один коефіцієнт у рівнянні прямої дорівнює нулю, рівняння називається неповним. Розташування прямої відносно осей координат залежить від коефіцієнтів а, b, с.

1. Якщо с = 0, а ≠ 0, b ≠ 0, то пряма ах + by = 0 проходить через початок координат (рис. 6, б).

2. Якщо а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0, то пряма by + с = 0 проходите паралельно осі ОХ (рис. 6, в).

3. Якщо b = 0, а ≠ 0, с ≠ 0, то пряма ах + с = 0 проходить паралельно осі ОУ (рис. 6, г).

4. Якщо а ≠ 0, b = 0, с = 0, одержимо х = 0, що є рівнянням осі ОУ (рис. 6, д).

5. Якщо b ≠ 0, а = 0, с = 0, одержимо у = 0, що є рівнянням осі ОХ(рис, 6, е).

Рис. 6

Якщо b * 0, то рівняння прямої можна записати у вигляді у = kх + b, де k — кутовий коефіцієнт прямої, k = tg або k =  (див. рис. 12)

Рис. 7

Умови паралельності двох прямих

Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями у = k₁х + b₁ і у = k₂х + b₂, то вони паралельні тоді і тільки тоді, коли k₁ = k₂ та b₁ ≠ b₂ (рис. 8).

Якщо k₁ = k₂ та b₁ = b_2, то прямі l та m збігаються.

Рис. 8

Умови перпендикулярності двох прямих Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями y = k₁x + b₁ і у = k₂х + b₂, то вони перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k₁ ∙ k₂ = -1 (рис. 9).

Рис. 9

Перетворення фігур на площині

Симетрія (рис. 10)

Точки Симетрія відносно	А (1; 1)	А (х, у)
точки О	А1 (-1; -1)	А1 (-х; -у)
осі х	A3 (1; -1)	А3 (х;- у)
осі у	А2(-1; 1)	А2 (-х; у)

Рис. 10

Паралельне перенесення (рис. 11)

Рис. 11

Гомотетія відносно точки О (рис. 12)

Рис. 12

Поворот навколо точки О (рис. 13)

Рис. 13

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо А (2; 3), В (3; 2).

А	Б	В	Г	Д
у = х + 5	у = х- 5	у = -х + 5	у = -х - 5	у = -х

2. Знайдіть рівняння прямої AВ. якщо вона паралельна осі ОХ і проходить через точку А (3; 4).

А	Б	В	Г	Д
у = 3	у = 4	у = 5	у = 6	у = 7

3. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями х + у = 4, 3х - у = 0.

А	Б	В	Г	Д
(- 1; - 3)	(-1; 3)	(1; - 3)	(1; 3)	(3; 1)

4. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку А (-2; 5) і утворює з віссю ОХ кут 45°.

А	Б	В	Г	Д
у = х + 7	у = -х + 7	у = -х + 3	у = х - 3	у = х

5. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо вона паралельна осі ОУ і проходить через точку А (3; 4).

А	Б	В	Г	Д
y = 3	х = 4	x = 5	у = 4	x = 3

6. Запишіть рівняння кола із центром у точці С (-2; 3), яке проходить через точку А (1; -1).

А	(х - 2)2 + (у - 3)2 = 25
Б	(Х + 2)2 + (y - 3)2 = 25
B	(х - 2)2  + (у + 3)2 = 25
Г	(Х + 2)2 + (у + 3)2 = 25
Д	х2 + у2 = 25

7. Яка геометрична фігура задана рівнянням x² + y² + ax + by + c = 0,  +   - с > 0?

А	Б	В	Г	Д
точка	пряма	коло	круг	визначити неможливо

8. Знайдіть периметр трикутника, утвореного при перетині осей координат прямою, яку задано рівнянням 4х + 3у = 24.

А	Б	В	Г	Д
6	12	18	24	30

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку; варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між рівняннями (1—4) та їх зображенням у декартовій системі координат (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо А(-1; 2), B(3; -1), С(-1; - 1).

11. Знайдіть радіус кола, заданого рівнянням х² + у² - 2х - 2у + 1 = 0.

12. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(- 1;  3), B(1; 5), С(3; 3), D( 1; 1).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.