Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ
Тема 19. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
Декартові координат. Визначення декартових координат на площині
Декартова система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями (вісь ОХ — вісь абсцис, вісь ОУ — вісь ординат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб осей (див. рис 1).
Кожній точці площини за певним правилом ставиться у відповідність пара чисел — абсциса та орди нага (х; у). Ці числа називаються декартовими координатами точки.
Рис. 1
Правило визначення де картав их координат па площині
Через точку А проводимо пряму, паралельну осі ординат (ОУ), до перетину її з віссю абсцису точці хА. Число х, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки хА називається абсцисою точки А.
Через точку А проводимо пряму, паралельну осі абсцис (ОХ), до перетину її з віссю ординат у точці уА. Число у, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки уА, називається ординатою точки А.
Декартові координати точки записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А(х; у), причому першою в дужках стоїть абсциса, другою — ордината.
Початок координат О розділяє кожну вісь на дві піввісі, одна з яких вважається додатною, інша — від’ємною.
На рис. 1 точка А має координати 3 і 2, точка В — координати -2 і -2.
Будь-якій парі чисел х і у відповідає лише одна точка площини A (х; у).
Відстань між двома точками
Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниці, однойменних координат.
Відстань міме двома точками на площині
d = .
де d — відстань (рис. 2) між тoчкою А1 із координатами (х1;у1)і точкою А2 із координатами (X2; у2).
Рис. 2
Координати середини відрізка
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.
Координати середини відрізка на площині Координат (хС ∙ уС ) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами
xC = ; yC =
.
де (х1;у1) і (х2;у2) — координат точок А1 і А2, що є кінцями відрізка (рис. 3).
Рис. 3
Рівняння фігури
Рівнянням фігури в декартових координатах на площині називається рівняння із двома невідомими х, у, які задовольняють координат будь-якої точки фігури, і тільки вони.
Рівняння кола
Якщо на площині задано деяку точку з координатами С (а; b), що є центром кола, а також радіус R (рис. 4), то рівняння кола має вигляд
(х - a) + (у - b) = R2.
Якщо центром кола є початок координат (рис. 5), то маємо
х2 +y2 = R2.
Рис. 4
Рис. 5
Рівняння прямої
Загальне повне рівняння будь-якої прямої у декартових координатах х, у має вигляд
ах + bу + с = 0,
де а, b, с — деякі числа (рис. 6, а).
Якщо хоч один коефіцієнт у рівнянні прямої дорівнює нулю, рівняння називається неповним. Розташування прямої відносно осей координат залежить від коефіцієнтів а, b, с.
1. Якщо с = 0, а ≠ 0, b ≠ 0, то пряма ах + by = 0 проходить через початок координат (рис. 6, б).
2. Якщо а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0, то пряма by + с = 0 проходите паралельно осі ОХ (рис. 6, в).
3. Якщо b = 0, а ≠ 0, с ≠ 0, то пряма ах + с = 0 проходить паралельно осі ОУ (рис. 6, г).
4. Якщо а ≠ 0, b = 0, с = 0, одержимо х = 0, що є рівнянням осі ОУ (рис. 6, д).
5. Якщо b ≠ 0, а = 0, с = 0, одержимо у = 0, що є рівнянням осі ОХ(рис, 6, е).
Рис. 6
Якщо b * 0, то рівняння прямої можна записати у вигляді у = kх + b, де k — кутовий коефіцієнт прямої, k = tg або k =
(див. рис. 12)
Рис. 7
Умови паралельності двох прямих
Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями у = k1х + b1 і у = k2х + b2, то вони паралельні тоді і тільки тоді, коли k1 = k2 та b1 ≠ b2 (рис. 8).
Якщо k1 = k2 та b1 = b2, то прямі l та m збігаються.
Рис. 8
Умови перпендикулярності двох прямих Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями y = k1x + b1 і у = k2х + b2, то вони перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k1 ∙ k2 = -1 (рис. 9).
Рис. 9
Перетворення фігур на площині
Симетрія (рис. 10)
Точки Симетрія відносно |
А (1; 1) |
А (х, у) |
точки О |
А1 (-1; -1) |
А1 (-х; -у) |
осі х |
A3 (1; -1) |
А3 (х;- у) |
осі у |
А2(-1; 1) |
А2 (-х; у) |
Рис. 10
Паралельне перенесення (рис. 11)
Рис. 11
Гомотетія відносно точки О (рис. 12)
Рис. 12
Поворот навколо точки О (рис. 13)
Рис. 13
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо А (2; 3), В (3; 2).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
у = х + 5 |
у = х- 5 |
у = -х + 5 |
у = -х - 5 |
у = -х |
2. Знайдіть рівняння прямої AВ. якщо вона паралельна осі ОХ і проходить через точку А (3; 4).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
у = 3 |
у = 4 |
у = 5 |
у = 6 |
у = 7 |
3. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями х + у = 4, 3х - у = 0.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(- 1; - 3) |
(-1; 3) |
(1; - 3) |
(1; 3) |
(3; 1) |
4. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку А (-2; 5) і утворює з віссю ОХ кут 45°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
у = х + 7 |
у = -х + 7 |
у = -х + 3 |
у = х - 3 |
у = х |
5. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо вона паралельна осі ОУ і проходить через точку А (3; 4).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
y = 3 |
х = 4 |
x = 5 |
у = 4 |
x = 3 |
6. Запишіть рівняння кола із центром у точці С (-2; 3), яке проходить через точку А (1; -1).
А |
(х - 2)2 + (у - 3)2 = 25 |
Б |
(Х + 2)2 + (y - 3)2 = 25 |
B |
(х - 2)2 + (у + 3)2 = 25 |
Г |
(Х + 2)2 + (у + 3)2 = 25 |
Д |
х2 + у2 = 25 |
7. Яка геометрична фігура задана рівнянням x2 + y2 + ax + by + c = 0, +
- с > 0?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
точка |
пряма |
коло |
круг |
визначити неможливо |
8. Знайдіть периметр трикутника, утвореного при перетині осей координат прямою, яку задано рівнянням 4х + 3у = 24.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку; варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між рівняннями (1—4) та їх зображенням у декартовій системі координат (А—Д).
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо А(-1; 2), B(3; -1), С(-1; - 1).
11. Знайдіть радіус кола, заданого рівнянням х2 + у2 - 2х - 2у + 1 = 0.
12. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(- 1; 3), B(1; 5), С(3; 3), D( 1; 1).
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.