Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 19. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

Декартові координат. Визначення декартових координат на площині

Декартова система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями (вісь ОХ — вісь абсцис, вісь ОУ — вісь ординат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб осей (див. рис 1).

Кожній точці площини за певним правилом ставиться у відповідність пара чисел — абсциса та орди нага (х; у). Ці числа називаються декартовими координатами точки.

Рис. 1

Правило визначення де картав их координат па площині

Через точку А проводимо пряму, паралельну осі ординат (ОУ), до перетину її з віссю абсцису точці хА. Число х, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки хА називається абсцисою точки А.

Через точку А проводимо пряму, паралельну осі абсцис (ОХ), до перетину її з віссю ординат у точці уА. Число у, абсолютна величина якого дорівнює відстані від точки О до точки уА, називається ординатою точки А.

Декартові координати точки записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А(х; у), причому першою в дужках стоїть абсциса, другою — ордината.

Початок координат О розділяє кожну вісь на дві піввісі, одна з яких вважається додатною, інша — від’ємною.

На рис. 1 точка А має координати 3 і 2, точка В — координати -2 і -2.

Будь-якій парі чисел х і у відповідає лише одна точка площини (х; у).

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниці, однойменних координат.

Відстань міме двома точками на площині

d = .

де — відстань (рис. 2) між тoчкою А1 із координатами (х11)і точкою А2 із координатами (X2; у2).

Рис. 2

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини відрізка на площині Координат (хС ∙ уС ) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

xC = yC = .

де (х11) і (х22) — координат точок А1 і А2, що є кінцями відрізка (рис. 3).

Рис. 3

Рівняння фігури

Рівнянням фігури в декартових координатах на площині називається рівняння із двома невідомими х, у, які задовольняють координат будь-якої точки фігури, і тільки вони.

Рівняння кола

Якщо на площині задано деяку точку з координатами С (а; b), що є центром кола, а також радіус (рис. 4), то рівняння кола має вигляд

(х - a+ (у - b) = R2.

Якщо центром кола є початок координат (рис. 5), то маємо

х2 +y2 = R2.

Рис. 4

Рис. 5

Рівняння прямої

Загальне повне рівняння будь-якої прямої у декартових координатах х, у має вигляд

ах + bу + с = 0,

де а, b, с — деякі числа (рис. 6, а).

Якщо хоч один коефіцієнт у рівнянні прямої дорівнює нулю, рівняння називається неповним. Розташування прямої відносно осей координат залежить від коефіцієнтів а, b, с.

1. Якщо с = 0, а ≠ 0, ≠ 0, то пряма ах + by = 0 проходить через початок координат (рис. 6, б).

2. Якщо а = 0, ≠ 0, с ≠ 0, то пряма by + с = 0 проходите паралельно осі ОХ (рис. 6, в).

3. Якщо b = 0, а ≠ 0, с ≠ 0, то пряма ах + с = 0 проходить паралельно осі ОУ (рис. 6, г).

4. Якщо а ≠ 0, b = 0, с = 0, одержимо х = 0, що є рівнянням осі ОУ (рис. 6, д).

5. Якщо ≠ 0, а = 0, с = 0, одержимо у = 0, що є рівнянням осі ОХ(рис, 6, е).

Рис. 6

Якщо b * 0, то рівняння прямої можна записати у вигляді у = kх + b, де k — кутовий коефіцієнт прямої, tg або  (див. рис. 12)

Рис. 7

Умови паралельності двох прямих

Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями у = k1х + b1 і у = k2х + b2, то вони паралельні тоді і тільки тоді, коли k1 = k2 та b1 ≠ b2 (рис. 8).

Якщо k1 = k2 та bb2, то прямі l та m збігаються.

Рис. 8

Умови перпендикулярності двох прямих Якщо прямі l та m задано відповідно рівняннями y = k1x + b1 і у = k2х + b2, то вони перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k1 ∙ k2 = -1 (рис. 9).

Рис. 9

Перетворення фігур на площині

Симетрія (рис. 10)

Точки

Симетрія відносно

А (1; 1)

А (х, у)

точки О

А1 (-1; -1)

А1 (-х; -у)

осі х

A3 (1; -1)

А(х;- у)

осі у

А2(-1; 1)

А(-х; у)

Рис. 10

Паралельне перенесення (рис. 11)

Рис. 11

Гомотетія відносно точки О (рис. 12)

Рис. 12

Поворот навколо точки О (рис. 13)

Рис. 13

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо А (2; 3), В (3; 2).

А

Б

В

Г

Д

у = х + 5

у = х- 5

у = -х + 5

у = -х - 5

у = -х

2. Знайдіть рівняння прямої AВякщо вона паралельна осі ОХ і проходить через точку А (3; 4).

А

Б

В

Г

Д

у = 3

у = 4

у = 5

у = 6

у = 7

3. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями х + у = 4, 3х - у = 0.

А

Б

В

Г

Д

(- 1; - 3)

(-1; 3)

(1; - 3)

(1; 3)

(3; 1)

4. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку А (-2; 5) і утворює з віссю ОХ кут 45°.

А

Б

В

Г

Д

у = х + 7

у = -х + 7

у = -х + 3

у = х - 3

у = х

5. Знайдіть рівняння прямої АВ, якщо вона паралельна осі ОУ і проходить через точку А (3; 4).

А

Б

В

Г

Д

y = 3

х = 4

x = 5

у = 4

= 3

6. Запишіть рівняння кола із центром у точці С (-2; 3), яке проходить через точку А (1; -1).

А

(х - 2)+ (у - 3)= 25

Б

(Х + 2)+ (- 3)= 25

B

(х - 2) + (у + 3)2 = 25

Г

(Х + 2)+ (у + 3)2 = 25

Д

х+ у2 = 25

7. Яка геометрична фігура задана рівнянням x2 + y2 + ax + by + c = 0,  +   - с > 0?

А

Б

В

Г

Д

точка

пряма

коло

круг

визначити

неможливо

8. Знайдіть периметр трикутника, утвореного при перетині осей координат прямою, яку задано рівнянням 4х + 3у = 24.

А

Б

В

Г

Д

6

12

18

24

30

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку; варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між рівняннями (1—4) та їх зображенням у декартовій системі координат (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть периметр трикутника ABCякщо А(-1; 2), B(3; -1), С(-1; - 1).

11. Знайдіть радіус кола, заданого рівнянням х2 + у2 - 2х - 2у + 1 = 0.

12. Знайдіть площу чотирикутника ABCDякщо А(- 1;  3), B(1; 5), С(3; 3), D1; 1).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.