Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 20. ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

Протилежні вектора

Вектор — напрямлений відрізок певної довжини, у якого один кінець вважається початком вектора, а інший — кінцем вектора.

Вектори позначаються двома великими латинським літерами зі стрілкою над ними або однією маленькою латинською літерою зі стрілкою над нею.

На рис. 1 зображено вектор  (А — початок вектора, В — кінець вектора) та вектор .

Рис. 1

Координати вектора

Координати вектора  що має початок у точці А і кінець у точці В, дорівнюють різниці відповідних координат точок В і А.

Координати вектора на площині

Якщо початком вектора є точка А(хАуА), а кінцем — точка В(xВ уВ), то  В - ХА; УВ - УА) (рис. 2).

Рис. 2

Довжина вектора

Довжина вектора (абсолютна величина або МОДУЛЬ) — довжина відрізка що зображує вектор.

Позначення: ||, ||.

Довжина вектора на площині

Якщо є вектор  (а1; а2), то || = , де || — модуль вектора, а1 і а2 — його координати.

Рівні вектори

Рівні вектори — вектори, які мають однаковий напрямок і рівні довжини.

На рис. 3 зображено рівні вектори  і .

Позначення:  = -.

Рівні вектори мають рівні координат. Якщо координати векторів рівні, то вектори рівні.

Рівність векторів на площині

Якщо  (а1; а2) =  (b1b2) то 

Якщо  то  (а1; а2) =  (b1b2).

Протилежні вектори

Протилежні вектори — вектори, які мають протилежні напрямки і рівні довжини.

На рис. 4 зображено протилежні вектори  і .

Позначення:  = -.

Протилежні вектори мають протилежні відповідні координати. Якщо відповідні координати двох векторів протилежні, то вектори протилежні.

Рис. 3

Рис. 4

Якщо маємо  (a1;a2),  (b1;b2) і  = -, то 

Якщо маємо  (a1;a2),  (b1;b2) і , то  = -.

Сума векторів

Нехай дано два вектори  i  (рис. 5).

Візьмемо довільну точку A і побудуємо вектор , що дорівнює  .

Від точки

В відкладемо вектор що дорівнює .

Рис. 5

Сумою векторів   є вектор  (рис. 6), тобто вектор, що з’єднує початок першого вектора з кінцем другого (так зване правило трикутника).

Рис. 6

Для двох векторів (АО і ОС) зі спільним початком (О) їхня сума зображається діагоналлю паралелограма (ОВ), побудованого на цих векторах, до того ж початок вектора-суми збігаєтеся з початком цих векторів (рис. 7).

Рис. 7

Сума векторів на площині  (a1;a2) +  (b1;b2) =  (a+ b1ab2).

Різниця векторів

Різницею векторів  -  є вектор  (рис. 8), тобто вектор, що з’єднує кінці векторів   і напрямлений від від’ємника до зменшуваного.

Координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат вектора — зменшуваного і вектора — від’ємника.

Рис. 8

Різниця векторів на площині  (a1;a2)-  (b1;b2) =  (a b1ab2).

Множення вектора на число

Добутком   вектора  на число  є вектор, довжина якого дорівнює | | ∙ | |, а напрямок — такий самий, що й у вектора  якщо  > 0, або протилежний напрямку вектора якщо  < 0 (рис. 9).

Якщо  = 0 або  = , то  = .

Координати вектора   дорівнюють добутку числа), на відповідні координати вектора .

Рис. 9

Множення вектора на число на площині  ∙  (а1; а2) =  ( а1 а2).

Колінеарні вектори

Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних ПРЯМИХ.

На рис. 10 вектори  — колінеарні.

Якщо вектори колінеарні, то їхні відповідні координати пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Рис.10

Колінеарність векторів на площині

Якщо є вектори  (а1; а2),  (b1b2і вони колінеарні, то  = .

Якщо є вектори  (a1;a2),  (b1;b2) і  = , то  і  — колінеарні вектори.

Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних

координат цих векторів. Позначення таке саме, як і для добутку чисел,— .

Скалярний добуток двох векторів на площині

Якщо є вектори  (a1;a2),  (b1;b2) то  ∙  = a1b1 + a2b2.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів   дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 11).

Отже,   =  ∙ cos.

Кут між двома векторами зі спільним початком визначається, як і звичайний кут.

Якщо є два довільні вектори  і  (рис. 12), то кутом між ними називається кут між рівними їм векторами зі спільним початком (рис. 13).

Кут між співнапрямленими векторами вважається таким, що дорівнює нулю.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Ознака перпендикуляр пості векторів

Якщо вектори перпендикулярні (рис. 14), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Рис. 14

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Серед векторів  (-2; 4),  (2; 2), і  (0; -1) та  (1; -2) знайдіть колінеарні.

А

Б

В

Г

Д

і b

а і d

а і с

і с

с і b

2. Знайдіть довжину вектора 3(6; у), якщо відомо, що він колінеарний вектору , де  (-2;0),  (0;1).

А

Б

В

Г

Д

7

4

6

3. На площині дано чотири точки А (1; 2), 5(5; 1), С(3; 4), (1; -4). Знайдіть кут між векторами  і  (у градусах).

А

Б

В

Г

Д

45°

30°

90°

60°

120°

4. Знайдіть кут між векторами  (-1; 2) та  (3; -1).

А

Б

В

Г

Д

45°

60°

90°

120°

135°

5. Визначте величину кута (у градусах) між векторами  якщо відомо, що  (4; 3) та  (1; 7), при чому 0°< а < 180°.

А

Б

В

Г

Д

30°

45°

60°

90°

135°

6. Знайдіть скалярний добуток векторів , якщо ||= 3, ||= 8, а кут між векторами дорівнює 120°.

А

Б

В

Г

Д

- 12

-6

0

6

12

7. Знайдіть кут (у градусах) між векторами  якщо  = 10, ||= 4, ||= 5.

А

Б

В

Г

Д

30°

45°

60°

90°

8. Знайдіть координати вектора  якщо А(-2; 3), 5(-8; -5).

А

Б

В

Г

Д

 (6; 8)

 (-10;- 8)

 (-10; -2)

 (-6; -2)

 (-6; -8)

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між векторами (1—4), зображеними на рисунку та їх координатами (А—Д).

1

Вектор 

А

(3; 0)

2

Вектор 

Б

(-2; -2)

3

Вектор 

В

(2; -2)

4

Вектор 

Г

(2; 2)

   

Д

(-2; 2)

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. У квадраті ABCD сторона АВ дорівнює 1,5 см. Знайдіть скалярний добуток  ∙ .

11. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

12. Вектори  утворюють кут 60°,  = 1

Знайдіть значення виразу ()2.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.