Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 21. АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

Площина

Уявлення про площину дають нам, наприклад, поверхня столу, віконного скла, спокійного озера Площина, як і пряма, нескінченна. Площина не має «країв», вона є необмеженою фігурою.

На рисунках площину зображають у вигляді паралелограма (рис. 1) або вигляді довільної області (рис. 2).

Площини позначають малими грецькими буквами: а, , у...

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією.

Основними фігу рами у просторі є точки, прямі та площини.

Рис. 1

Рис. 2

Аксіоми стереометрії

1.  Якою б не була площина, існують точки, що їй належать, й існують точки, які не належать їй.

На рис. З точка А лежить у площині а (або належить площині а), а точка В знаходиться поза площиною а (або не належить площині а). Коротко це записується так: А ∈ а, В  а.

2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку (рис. 4).

Якщо дві різні площини мають спільні точки, то кажуть, що вони перетинаються.

3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 5).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Наслідки і аксіом стереометрії

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Через пряму і точку поза нею можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 6).

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через три точки

Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 7).

Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то площину, яка містить ці точки, позначають так: (ABC).

Теорема про належність прямої площині

Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма міститься в цій площині (рис. 8).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати в площині, а може і не належати площині а. Якщо пряма і площина мають лише одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються (рис. 9).

Рис. 9

Паралельність прямої і площини

Дві прямі у просторі називають паралельними. якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. На рис. 10 а та паралельні. Паралельність прямих а та позначається так: а||b.

Рис. 10

Теорема про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій

Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

Отака паралельності прямих

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні, якщо а || b, а || с, то b || с.

Дві прямі мали Всіють мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. На рис. 11 прямі а і мимобіжні.

Рис. 11

Отака мимобіжності прямих

Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. На рис. 12 пряма а та площина а паралельні. Паралельність прямої а та площини а позначається так: а||а.

Рис. 12

Отака паралельності прямої та площини

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || b а, то а||а (рис. 12).

Паралельні площини і площини, що перетинаються

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

На рис. 13 площини а та р паралельні. Паралельність площин а і  позначається так: а || .

Рис. 13

Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні. Якщо a || a1, b || b b, a  a, b  a, a1  , b1 , TO a ||  (рис. 13).

Рис.14

Існування єдиної площини, паралельної даній площині Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. На рис. 14 а||, у перегинає а по прямій а, у перегинає р но прямій b, тоді а || b.

2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні. На рис. 15. a||pAB||CDА ∈ а, С ∈ а, В ∈  ∈ . отже, АВ = CD.

Рис. 15

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.

1. Скільки всього різних площин можна провести через три точки, якщо вони лежать на одній прямій?

А

Б

В

Г

Д

жодної

тільки одну

тільки дві

тільки три

безліч

2. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1Укажіть, які з указаних прямих є паралельними.

А

Б

В

Г

Д

АВ1 і А1С1

ВВ1 і АС

DD1 і ВВ1

А1В1 і АС

ВС і А1С1

3. Скільки площин визначають чотири точки, які не лежать в одній площині?

А

Б

В

Г

Д

тільки одну

тільки дві

тільки три

тільки чотири

безліч

4. Точки А, В, С, не лежал, в одній площині. По якій прямій перетинаються площини ABC і ABD?

А

Б

В

Г

Д

АВ

ВС

CD

AD

АС

5. Точки К, LМ, — відповідно середини ребер SAАС, ВС, BS правильного тетраедра SABCЗнайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо ребро тетраедра дорівнює 10 см.

А

Б

В

Г

Д

5 см

10 см

20 см

30 см

40 см

6. Точки А і В лежать у площині а, а точка С — поза нею. Яке з наведених тверджень правильне?

А

Б

В

Г

Д

Пряма АС не перетинає площину а

Пряма ВС не перетинає площину а

Прямі АВ і ВС не персти маються

Прямі АВ і АС не перетинаються

Пряма АВ лежить в площині а

7. Задано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки існує різних площин, що проходять через пряму а і є паралельними прямій b?

А

Б

В

Г

Д

жодної

одна

дві

три

безліч

8. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають, площину а в точках М і відповідно. Знайдіть, довжину відрізка CN, якщо АС: ВС = m : n, ВМ = а.

А

Б

В

Г

Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 Установіть відповідність між даними прямими (1—4) та паралельними їм прямими (А—Д).

1

АВ

А

СС1

2

AD

Б

DC1

3

АA1

В

D1C1

4

AВ1

Г

AD1

   

Д

В1С1

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Через кінці відрізка А В і внутрішню його точку С проведено паралельні прямі, що перетинають площину а в точках A1B1С1 (див. рисунок). Знайдіть АА1 (у см), якщо ВВ1 = 10 см, СС1 = 12 см, АС : ВС = 3 : 2.

11. Паралельні площини а і (5 перетинають сторони кута АВС в точках A1, С1 і А2, С2 відповідно. Знайдіть ВС, (у см), якщо А1В : А2В = 3 : 5, ВС2 = 15 см.

12. Дано паралелограм ABCD і площина, що його не перетинає. Через точки А, В, С, проведено паралельні прямі, які перегинають площину в точках А1В1, С1D1. Знайдіть DD1 (у см), якщо АА1 = 12 смб ВВ= 10 см, СС1 = 3 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.