Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 22. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ. ВІДСТАНІ І КУТИ У ПРОСТОРІ

Кут між прямою та плотиною.  Перпендикуляр до площі.

Теорема про три перпендикуляри

Кутом між прямою та площиною називається кут між прямою та її проекцією на площину (рис. 1). Якщо  — кут між прямою та площиною, то 0° ≤  ≤ 90°.

Кутом між похилою та площиною називаємся кут між похилою та її проекцією на дану площину (рис. 2). Якщо  — кут між похилою та площиною, то 0° <  < 90°.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині.

Перпендикулярність прямої а та площини а позначається так: а ⊥ а. На рис. З зображено пряму а, перпендикулярну до площини а.

Рис. !

Рис. 2

Рис. 3

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. Якщо  та  aто а || b (рис. 4).

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо  a та а || b, то  а (рис. 4).

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо а || , та  a, то   (рис. 5).

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні. Якщо  а, та а ⊥ , то ||  (рис. 5). Перпендикулярам, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

На рис. 6 АВ — перпендикуляр до площини а, АС — похила до площини а, ВС — проекція похилої АС на площину а, В — основа перпендикуляра С — основа похилої.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

На рис. 7 зображено: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ⊥ с, то А В ⊥ с, і навпаки: якщо с ⊥ ABто ОВ ⊥ CЗазначимо, що пряма с на рис. 7 може і не перетинатися з похилою АВ.

Рис. 7

Двогранні кути. Лінійний кут двогранного куга. Перпендикулярність двох площин. Кут між площинами

Двогранні кути

Двогранним кутом називається фігура яка утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що обмежує їх (рис. 8).

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма що обмежує півплощини, — ребрам двогранного кута.

На рис. 8 а і  — грані, а — ребро двогранного кута.

Рис. 8

Лінійний кут двогранного кута

Лінійним кутам двогранного кута називається кут між променями, по яких площина яка перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає грані. На рис. 9 у ⊥ с,  — лінійний кут двогранного кута.

Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, можна:

1) узяти точку на ребрі двогранного кута і побудувати промені, які виходять із цієї точки, лежать на гранях двогранного кута і перпендикулярні до ребра. Кут між побудованими променями і буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 10 ∠BAC — лінійний кут;

2) узяти точку в одній із граней двогранного кута, опустити з неї перпендикуляр до другої грані та провести перпендикуляр до ребра двогранного кута Кут між перпендикуляром до ребра і проекцією цього перпендикуляра на другу грань й буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 11 ∠BAO— лінійний кут.

Рис. 9

Рис. 10

Перпендикулярність двох площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина яка перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 12 а ⊥ , бо у ⊥ с, а ⊥ b.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Якщо ⊥ а і  проходить через b, то  ⊥ а (рис. 13).

Властивості перпендикулярних площин

1. Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Якщо  , у ⊥ с, то а ⊥ b (рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Якщо  ⊥ а,  а, то ⊥ а (див. рис. 13).

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю. Кутам між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими перетину даних площин із площиною, яка перпендикулярна до лінії перегину даних площин.

Якщо у ⊥ с, то  — кут між площинами, 0°    90° (рис. 14).

Рис. 14

Відстані y просторі

Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

АО  а, АО — відстань від точки А до площини а (див. рис. 15).

Якщо точка лежить на площині, то відстань від точки до площини дорівнює нулю.

Відстань від точки до прямої— довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму.

АО — відстань від точки А до прямої а (див. рис. 16).

Якщо точка лежить на прямій, відстань від точки до прямої дорівнює нулю.

Відстань між паралельними прямими — відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих прямих і кінці якого лежать на цих прямих).

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 17).

Відстань між паралельною прямою і площиною — відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямої і площини, один кінець якого належить прямій, а інший — площині).

АО — відстань від прямої а до площини а (див. рис. 18).

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Відстань між паралельними площинами — відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих площин, кінці якого лежать у цих площинах).

АВ — відстань між площинами а і  (див. рис. 19).

Відстань між мимобіжними прямими — довжина їх спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямих, кінці якого лежать на цих прямих). Ця відстань дорівнює відстані між паралельними площинами, які містять ці прямі, або дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до площини, що проходить через другу пряму і паралельна першій.

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 20).

Рис. 19

Рис. 20

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Укажіть усі правильні твердження.

І. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну пряму, паралельну площині а.

II. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну площину, паралельну площині а.

IIІ. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини а.

IV. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини а.

А

Б

В

Г

Д

II

II, III

І, IV

І, ІІІ, IV

II, ІІІ, IV

2. Знайдіть кут (у градусах) між площинами AA1C1C та ВВ1D1D y кубі ABCDA1B1C1D1.

А

Б

В

Г

Д

60°

45°

90°

30°

3. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка А. яка лежить в одній площині, знаходиться від другої площині на відстані а. Знайдіть відстань від точки А до прямої перегину цих площин.

А

Б

В

Г

Д

 

 

 

а

4. ABC (рис. 2) — прямокутний трикутник (90°, К — середина BС). Відрізок АР перпендикулярний до площини ABCУкажіть відстань від точки Р до прямої СВ.

А

Б

В

Г

Д

РА

АС

РВ

PC

РК

5. Двогранний кут дорівнює 60°. Задано точку на одній із граней кута. Відстань від цієї точки до другої грані кута становить 4 см. Знайдіть відстань від заданої точки до ребра двогранного кута

А

Б

В

Г

Д

4

8

2

6. У кубі A BCDA знайдіть відстань між прямими А1В1 та D1Dякщо ребро куба дорівнює а.

А

Б

В

Г

Д

а

а

 

7. Із точки А до площини а проведені дві похилі АК та AN, які утворюють із площиною а кути 45° та 60° відповідно. Знайдіть довжини похилих, якщо відстань від точки А до площини а дорівнює .

А

Б

В

Г

Д

, 2

, 2

2

8. Кінці відрізка АВ, який не перетинає площину, віддалені від цієї площини на 3 см та 5 см відповідно. Як віддалена від цієї площини точка М, яка ділить цей відрізок у відношенні 3 : 7, починаючи від точки А?

А

Б

В

Г

Д

36

3,5

0,6

3,6

3,3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду SABCDу якої всі ребра рівні. Точка М— середина ребра SCУстановіть відповідність між заданими прямими (1—4) та площинами (А—Д), що перпендикулярні до даних прямих.

1

пряма ВО

А

площина ABS

2

пряма АО

Б

площина BMD

3

пряма SO

В

площина ASC

4

пряма SC

Г

площина BSD

   

Д

площина ABC

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Із точки до площини проведено дві похилі, які дорівнюють 23 см і 33 см. Знайдіть довжину перпендикуляра до площини, якщо проекції похилих відносяться як 2 : 3.

11. У трикутнику ABC C = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ— медіана. Через вершину С проведено пряму СК, яка перпендикулярна до площини трикутника АВС, причому СК = 12 см. Знайдіть КМ.

12. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120°, а бічні сторони — по 10 см. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від кожної із вершин на 26 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.