Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 23. МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМИ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ

У стереомерії, крім точок, прямих та площин, розглядають просторові геометричні фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Прикладом просторової фігури може служити геометричне тіло — частина простору, яку займає предмет. Куб, прямокутний паралелепіпед, тетраедр — приклади геометричних тіл.

Куб — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма рівними квадратами (рис. 1).

Прямокутний паралелепіпед — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма прямокутниками (рис. 2).

Тетраедр — це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутниками (рис. 3).

Правильніш тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена чотирма рівними правильними трикутниками (рис. 4).

Многогранникам називається тіло, поверхня якого обмежена скінченним числом плоских многокутників. Многокутники, що обмежують поверхню тіла, називаються гранями, сторони граней —ребрами, вершини граней — вершинами многогранника.

Призма (n-кутна) — це многогранник, у якого дві грані — рівні n-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші n граней — паралелограми (рис. 5).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Многокутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми. Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать основам.

Властивості призми

1. Основи призми паралельні і рівні.

2. Бічні ребра паралельні і рівні.

3. Бічні грані — паралелограми.

Висотою призми називається перпендикуляр, проведений із точки верхньої основи на площину нижньої основи. На рис. 6 ОО1 — висота призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини, які не належать одній грані. На рис. 5 АС1AD1— діагоналі призми.

Рис. 6

Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані. Нарис. 5 AA1C1C— діагональний переріз призми.

Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Призма, яка не є прямою, називається похилою.

Правильною призмою називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. На рис. 7 зображені правильні трикутна, чотирикутна та шестикутна призми.

Паралелепіпедам називається призма, основи якої є паралелограмами (рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

Властивості паралелепіпеди

1. Протилежні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні.

2. Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. Паралелепіпед називається прямим, якщо в нього бічні ребра перпендикулярні до основ. Прямий паралелепіпед має всі властивості паралелепіпеда, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда є прямокутниками.

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним (рис. 9). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 9

Властивості прямокутного паралелепіпеда

1. Усі діагоналі рівні.

2. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

На рис. 9 d2 = а2 + b2 + с2.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубам.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки всього діагоналей має n-кутна призма?

А

Б

В

Г

Д

(n - 2) ∙ n

(n - 3) ∙ n

(n - 1) ∙ n

(n - 2)(n + 1)

(- 2)(- 1)

2. Знайдіть суму градусних мір всіх плоских кутів n-кутної призми.

А

Б

В

Г

Д

360°(- 1)

360°(n - 2)

720°(n - 1)

720°(n + 1)

720°(- 2)

3. Основа прямої призми — прямокутний трикутник, діагоналі бічних граней призми дорівнюють 4 см, 7 см і 8 см. Знайдіть висоту призми.

А

Б

В

Г

Д

2 см

 см

 см

3 см

1 см

4. Знайдіть суму градусних мір всіх двогранних кутів n-кутної призми.

А

Б

В

Г

Д

360°(- 1)

360° (- 2)

720° (n - 1)

720°(n + 1)

720° (n - 2)

5. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює і утворює кут а з площиною основи. Знайдіть бічне ребро призми.

А

Б

В

Г

Д

dtga

dsina

dctga

d cosa

6. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від діагоналі куба до бічного ребра, яке не перетинає її.

A

Б

В

Г

Д

7. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює і утворює кут а з площиною основи. Знайдіть діагональ основи призми.

A

Б

В

Г

Д

dtga

dsina

dctga

dcos a

 

8. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює і нахилена до площини основи під кутом ф. Знайдіть площу діагонального перерізу призми.

А

Б

В

Г

Д

d2 sin2

d2 COS2

sin2 

d2 cos2

d2cos2

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. У куб. ребро якого дорівнює 1, вписано кулю і описано кулю навколо нього. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (A—Д).

1

радіус кулі, вписаної в куб

А

 

2

радіус кулі, описаної навколо нього

Б

 

3

діагональ куба

В

 

4

радіус кола, описаного навколо грані куба

Г

0,5

   

Д

 

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть діагональ (у см) правильної чотирикутної призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 8 см, а ребро основи — 6 см.

11. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює 2 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть бічне ребро (у см).

12. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см. Знайдіть ребро (у см) основи паралелепіпеда, якщо діагональ бічної грані дорівнює 16 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.