Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 25. ПЛОЩІ ПОВЕРХНІ ТА ОБ’ЄМ МНОГОГРАННИКІВ

Формули площі поверхонь і об’ємів призми, піраміди

Площею бічної поверхні притч є сума площ її бічних граней.

Площею повної поверхні прими є сума площ усіх її граней.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра.

На рис. 1 Sбіч∆АВС ∙ АА1.

Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою: Sбіч = Р ∙ АА1 (рис. 2), де Р— периметр перпендикулярного перерізу (перерізу призми площиною, яка перпендикулярна до бічних ребер і перетинає всі її бічні ребра), AA1 — довжина бічного ребра.

Площа повної поверхні призми (Sпр)) дорівнює сумі площі бічної поверхні (Sбіч) і площ двох основ (2Sосн.):

Sпр = Sбіч +2Sосн.

Об’єм V призми дорівнює добутку площі основи на висоту: V = SоснH (рис. 1).

Об’єм V призми можна обчислити за формулою V = Sпер ∙ АА1, де Sпер — площа перпендикулярного перерізу, АА1 — довжина бічного ребра.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його вимірів: V = abc (рис. 3).

Об’єм V куба дорівнює кубу його ребра: V = а3.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Площею повної поверхні піраміди є сума площ усіх її граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні піраміди — сума площ її бічних граней:

Sпір = Sбіч + Sосн; Sбіч = S∆АSB + S∆BSC + S∆CSD + S∆ASD (рис. 4).

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

Sбіч = Pосн ∙ SK = Pосн ∙ 1 (рис. 5).

Рис. 4

де l — апофема, l = SK.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом , а площа основи дорівнює Sосн, то площа бічної поверхні піраміди

Sбіч = .

Рис. 5

Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

Vпір = Sосн ∙ Н (рис. 6).

Рис. 6

Площа повної поверхні зрізаної піраміди дорівнює сумі площ усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площа бічної поверхні зрізаної піраміди — сумі площі!' бічних граней (див. рис. 7).

Sзрпір. = S1 + Sбіч + S2

де Sбіч = SАBB1А1 + SAСС1A1 + SBСС1B1

Рис. 7

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему (див. рис. 8).

Sбіч = ∙ l.

де P1 і Р2 — периметри основ, l — апофема (рис. 8).

Об’єм V зрізаної піраміди, висота якої H, а площі основ дорівнюють S1 і S2, обчислюється за формулою:

Vзрпір = Н(S1 + + S2).

Рис. 8

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильнy, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть площу поверхні куба, якщо площа його діагонального перерізу дорівнює Q.

А

Б

В

Г

Д

Q

Q

2Q

2Q

3Q

2. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а, а бічна поверхня вдвічі більша за площу основи.

А

Б

В

Г

Д

а

3. Сторона основи правильної шестикутної призми дорівнює а, а бічне ребро — b. Знайдіть об’єм призми.

А

Б

В

Г

Д

а2b

а2b

а2b

а2b

а2b

4. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює 3 см, а сторони основ — 5 см і 1 см.

А

Б

В

Г

Д

6 см3

8 см3

10 см3

12 см3

см3

5. Знайдіть об’єм куба, якщо площа його повної поверхні дорівнює S.

А

Б

В

Г

Д

()3

()3

()3

S3

()3

6. Знайдіть висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо сторони її основ дорівнюють а і b (а > b), а площа бічної поверхні дорівнює сумі площ основ.

А

Б

В

Г

Д

ab

7. Бічні ребра трикутної піраміди дорівнюють а, b, с і взаємно перпендикулярні. Знайдіть об’єм піраміди.

А

Б

В

Г

Д

аbc

abc

abc

abc

2abc

8. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо її бічної грані, дорівнює R.

А

Б

В

Г

Д

6R2 sin а

6R2 cos2 sin a

6R2 sin a cos а

6R2 sin2 cosa

6R2 cosa

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено правильну чотирикутнику піраміду, висота і бічне ребро якої дорівнюють З і 5. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).

1

діагональ основи піраміди

А

4

2

площа діагонального перерізу

В

8

3

площа основи піраміди

Б

12

4

потроєний об’єм піраміди

Г

32



Д

96

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть площу (у см2) повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, в якій висота дорівнює 12 см, а апофема — 13 см.

11. Знайдіть об’єм (у см3) правильною шестикутною піраміди, висота якої дорівнює см. а бічне ребро дорівнює 2 см.

12. Знайдіть об’єм (у см3) правильної трикутної піраміди, у якій сторона основи дорівнює 2 см, а бічне ребро — см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити