Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 30. ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ І ОБ’ЄМИ ТІЛ ОБЕРТАННЯ

Формули площі поверхні та об'ємів циліндра, конуса. Формули площі поверхні сфери, об'єму кулі

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твірній, а потім розгорнути її на площині, то утвориться розгортка циліндра (рис. 1).

Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки.

Площа поверхні циліндра Sцил дорівнює сумі площ основ Sосн і бічної поверхні Sбіч :

Sцил = 2Sосн + Sбіч

Рис. 1

Оскільки Sбіч = 2RH, Sосн = R2, де R — радіус основи циліндра, Н — його висота, то

Sцил = 2RH + 2R2 = 2R (R + Н) (рис. 2).

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто

Vцил = Sосн ∙ Н = R2H (рис. 2).

Рис. 2

Площа бічної поверхні конуса дорівнює півдобутку довжини кола основи на його твірну, тобто Sкон = Rl (рис. 3).

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площі основи:

Sкон = Sбіч + Sосн = Rl + R2 = R(R + l). (рис. 3).

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту конуса, тобто

VКОН = R2H (Рис. 3).

Рис. 3

Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює півдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто Sбіч зрк он = l(R + r), де l—твірна, R і r—радіуси основ (рис. 4). Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площ основ:

Sповн зр кон = Sбіч + R2 + r2 = l(R + r) + R2 + r2 (рис. 4).

Об’єм зрізаного конуса обчислюється за формулою:

Vзр кон = Н(R2 + Rr + r2),

де R і r — радіуси основ, V — висота конуса (рис. 4).

Площа поверхні сфери знаходитеся за формулою

S = 4R2,

де R — радіус сфери (рис. 5).

Площа сферичного сегмента (рис. 6) обчислюєтеся за формулою

S = 2RH.

де R — радіус сфери, Н — висота сегмента.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Площа сферичного поясу (кільця) знаходиться за формулою

S = 2RН.

де R — радіус сфери, Н — висота поясу (кільця) (рис. 7).

Об’єм V кулі обчислюється за формулою

V = R3,

де R — радіус кулі (рис. 5).

Об’єм кульового сегмента обчислюється за формулою

V = H2(R - ),

де R — радіус кулі, Н — висота кульовою сегмента (рис. 6).

Рис. 7

Об’єм кульового сектора обчислюється за формулою

V = R2H,

де R— радіус кулі, Н — висота відповідного кульового сегмента (рис. 8).

Рис. 8

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює О. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра

А

Б

В

Г

Д

Q

2 Q

3 Q

4 Q

5 Q

2. Висота конуса — 4 см, твірна дорівнює 5 см. Знайдіть кут сектора, який є розгорткою бічної поверхні цього конуса.

А

Б

В

Г

Д

186°

196°

206°

210°

216°

3. Знайдіть об’єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні — квадрат зі стороною а.

А

Б

В

Г

Д

2 а3

3 а3

4 а3

4. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпотенузою 12 см. Знайдіть об’єм конуса.

А

Б

В

Г

Д

18 см3

36 см3

54 см3

60 см3

72 см3

5. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 11 см і 6 см, твірна дорівнює 13 см. Знайдіть об’єм конуса.

А

Б

В

Г

Д

892 см3

893 см3

894 см3

895 см3

896 см3

6. Площа основи конуса дорівнює S, а площа його повної поверхні — 35. Під яким кутом нахилена твірна до основи конуса?

А

Б

В

Г

Д

15°

30°

45°

60°

75°

7. Радіус кульового сектора дорівнює r, кут в осьовому перерізі дорівнює 120°. Знайдіть об’єм кульового сектора

А

Б

В

Г

Д

r3

r3

r3

r3

r3

8. У півкулі радіуса Я через середину її висоти проведено переріз, паралельний основі півкулі. Знайдіть об’єм одержаного кульового поясу.

А

Б

В

Г

Д

R3

R3

R3

R3

R3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено конус, твірна і діаметр якого дорівнюють л/з і 2. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).

1

площа основи конуса

А

2

площа бічної поверхні конуса

Б

2

3

об’єм конуса

В

4

площа осьового перерізу

Г



Д

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть об’єм (у см3) куба, описаного навколо кулі, площа поверхні якої дорівнює 36 см2.

11. Знайдіть об’єм (у см3) куба, описаного навколо кулі, об’єм якої дорівнює 5 см3.

12. Знайдіть висоту (у см) зрізаного конуса, об’єм якого дорівнює 91 см2, а радіуси основ зрізаного конуса — 1 см і 3 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити