Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 32. ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Координати вектора в просторі

Якщо початком вектора є точка А(хA; уА; zA), а кінцем — точка В(хB; уB; zB), то (xB - xA; yB - yA; zB - zA)(рис. 1).

Рис. 1

Довжина вектора в просторі

Якщо є вектор (а1; а2; а3), то || = + , де || — модуль вектора, a1, а2, а3 — його координати.

Одиничним називається вектор , у якого || = 1.

Нульовим називається вектор (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів i , якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язання

(- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) = (-6; -5; 6);

(3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) = (1; 4; - 1).

||= = ; = = = 3.

Відповідь: = (-6;-5;6), = (1;4;-1), = ; = 3.

Рівність векторів у просторі

Якщо 123) = (b1;b2;b3), то

Якщo то (a1; а2; а3) = (b1;b2;b3).

Протилежні вектори в просторі

Якщо маємо (a1; a2; а3), (b1;b2;b3) i = -, то

Якщо маємо 123), (b1;b2;b3) і то = -

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO1), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB1), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

1; а2;a3) + (b1; b2; b3) = 1 + b1; а2 + b2; a3 + b3).

Різниця векторів у просторі 1; а2; а3) - (b1; b2; b3) = 1 - b1; а2- b2; a3 - b3).

Множення вектори чи число в просторі

1; а2; а3) = (а1; а2; а3).

Задача 2. Задано вектори (3; -2; -1); (1; 1; 2); (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів = + , = - , = 2 + 3 - .

Розв’язання

= + = = ; = = = = ;

= 2 + 3 - = 2 ∙ + 3 - =

= .

Відповідь: = ; = ; =

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори 1; a2; а3), (b1, b2; b3) і вони колінеарні, то = =

Якщо є вектори 1; а2; а3), (b1; b2; b3) і = = , то і — колінеарні вектори.

Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори (3; m; 5) і (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси = = .

Маємо два рівняння:

1) = , тоді m = = 1;

2) = , тоді n = = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори (a1; а2; a3), (b1; b2; b3), то = a1b1+ a2b2 + a3b3.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже, = || ∙ || ∙ cos.

Задача 4. Знайдіть кут між векторами (1; 2; - 3) і (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos = = = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||= = ,

тоді cos = = = = .

Звідси = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 5. При якому значенні р вектори (3; р: -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

= 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5, = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

Розглянемо розв’язання деяких задач.

Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки (- 6; 14; 2), (- 2; - 6; 0), то = + , (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис. 5

Тоді || = = = 2.

Відповідь: 2.

Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту між векторами та (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М:

M (; ; ) = M(0; -1; 1).

Тоді (-4; 0; -3), (-3; -4; 0);

cos = = == .

= arcos - гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos

Відповідь: arcos .

Рис. 6

Задача 8. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і (0; 5; 0).

Розв’язання

Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах і (див. рисунок).

Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ || sin (див. рисунок).

|| = = 5; || = = 5; cos = = = 0.

Оскільки cos = 0, то = 90°. Тоді sin = 1 і S = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.

Відповідь: 25.

Рис. 7

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.

1. Дано вектори (3;-2;-1), (1;1;2), (-3;2;4). Знайдіть координати вектора = 2 + 3 - .

А

Б

В

Г

Д

(17; - 8; -1)

(-20; 8; 9)

( 2; -3; -3)

(12; -3; 0)

інша відповідь

2. Знайдіть ||, якщо А (2; - 3; - 1), С(3; 1; - 2).

А

Б

В

Г

Д

3

2

3

10

3. Дано вектори (4;-3;0), (-6; 0; 8). Знайдіть | + |.

А

Б

В

Г

Д

13

15

4. Дано вектори (4;-3;0), (-6;0;8). Знайдіть || + ||.

А

Б

В

Г

Д

13

15

50

інша відповідь

5. Точки А (1; 3; -1), В (2; 1; 2), С (1; -2; 1) є вершинами паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини О.

А

Б

В

Г

Д

D (0; 0; -2)

D (-2; 0; 0)

D (0; -2; 0)

D(1; 1; —2)

інша відповідь

6. При якому значенні n вектори (3; 1;5) і (-6; - 2; n) колінеарні?

А

Б

В

Г

Д

n = 10

n = 5

n = 0

n = - 5

n = -10

7. При якому значенні р вектори (3; р; -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

А

Б

В

Г

Д

р = -5

p = 10

p = 5

p = -10

інша відповідь

8. Одиничні вектори і утворюють кут 120°, а одиничний вектор перпендикулярний до них. Знайдіть довжину вектора + + .

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Нехай ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Установіть відповідність між різницями векторів (1—4) так значеннями(А-Д).

1

-

А

2

-

Б

3

AD1 -

В

4

-

Г

2



Д

2

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Визначте величину кута(у градусах) між векторами - і , якщо відомо, що (3; 5;-4), (-2; 5; - 4) і (0;0;2).

11. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний добуток .

12. Паралелограм ABCD побудовано на векторах а і b як на сторонах. Відомо, що | | = 3, | | = 5, | + | = 7. Знайдіть величину кута (у градусах) між векторами і .

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити