Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 32. ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Координати вектора в просторі

Якщо початком вектора є точка А(хA; уАzA), а кінцем — точка В(хB; уBzB), то  (xxAyyAzzA)(рис. 1).

Рис. 1

Довжина вектора в просторі

Якщо є вектор  (а1; а2; а3), то || =  + де || — модуль вектора, a1а2, а3 — його координати.

Одиничним називається вектор , у якого || = 1.

Нульовим називається вектор  (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів  i якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язання

 (- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) =  (-6; -5; 6);

 (3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) =  (1; 4; - 1).

||=  =  =  =  = 3.

Відповідь:  = (-6;-5;6),  = (1;4;-1),  =  = 3.

Рівність векторів у просторі

Якщо  (а123) =  (b1;b2;b3), то 

Якщ то  (a1а2; а3) =  (b1;b2;b3).

Протилежні вектори в просторі

Якщо маємо  (a1a2а3),  (b1;b2;b3 = -, то 

Якщо маємо  123),  (b1;b2;b3і  то  = -

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO1), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB1), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

 (а1; а2;a3) +  (b1b2b3 (а1 + b1; а2 + b2a3 + b3).

Різниця векторів у просторі  (а1; а2; а3) -  (b1b2b3) =  (аb1; а2b2a3 b3).

Множення вектори чи число в просторі

 ∙  (а1; а2; а3) =  (а1а2а3).

Задача 2. Задано вектори  (3; -2; -1);  (1; 1; 2);  (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів  =  +  =  -  = 2 + 3 - .

Розв’язання

 =  +  =  =  =  =  =  = ;

 = 2 + 3 -  = 2 ∙  + 3 -  =

 = .

Відповідь:  =  =  = 

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори  (а1a2а3),  (b1b2b3) і вони колінеарні, то  =  = 

Якщо є вектори  (а1; а2; а3),  (b1b2b3) і  =  = то  і  — колінеарні вектори.

Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори  (3; m; 5) і  (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси  =  = .

Маємо два рівняння:

1)  = , тоді m =  = 1;

2)  = , тоді n =  = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори  (a1; а2a3),  (b1; b2; b3), то  ∙  = a1b1a2b2 + a3b3.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів  і  дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже,  ∙  = || ∙ || ∙ cos.

Задача 4. Знайдіть кут між векторами  (1; 2; - 3) і  (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos  =  ∙  = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||=  = ,

тоді cos =  =  =  = .

Звідси  = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 5. При якому значенні р вектори  (3; р: -1) і  (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

 ∙  = 3 ∙ p + ∙ (-2) +  (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5,  ∙  = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

Розглянемо розв’язання деяких задач.

Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCDякщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки  (- 6; 14; 2),  (- 2; - 6; 0), то  =  +  (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис. 5

Тоді || =  =  = 2.

Відповідь: 2.

Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABCякщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту  між векторами   та   (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М:

M () = M(0; -1; 1).

Тоді   (-4; 0; -3),   (-3; -4; 0);

cos =  =  == .

 = arcos  - гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos  

Відповідь: arcos .

Рис. 6

Задача 8. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах  (3; 0; -4) і   (0; 5; 0).

Розв’язання

Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах  і  (див. рисунок).

Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ |sin (див. рисунок).

|| =  = 5; || =  = 5; cos =  =  = 0.

Оскільки cos  = 0, то  = 90°. Тоді sin  = 1 і = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.

Відповідь: 25.

Рис. 7

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.

1. Дано вектори  (3;-2;-1),  (1;1;2),  (-3;2;4). Знайдіть координати вектора  = 2 + 3 - .

А

Б

В

Г

Д

 (17; - 8; -1)

 (-20; 8; 9)

 ( 2; -3; -3)

 (12; -3; 0)

інша відповідь

2. Знайдіть ||, якщо А (2; - 3; - 1), С(3; 1; - 2).

А

Б

В

Г

Д

3 

2

3

10

3. Дано вектори  (4;-3;0),  (-6; 0; 8). Знайдіть | + |.

А

Б

В

Г

Д

13

15

4. Дано вектори  (4;-3;0),  (-6;0;8). Знайдіть || + ||.

А

Б

В

Г

Д

13

15

50

інша відповідь

5. Точки А (1; 3; -1), В (2; 1; 2), С (1; -2; 1) є вершинами паралелограма ABCDЗнайдіть координати вершини О.

А

Б

В

Г

Д

(0; 0; -2)

(-2; 0; 0)

(0; -2; 0)

D(1; 1; —2)

інша відповідь

6. При якому значенні n вектори  (3; 1;5) і  (-6; - 2; n) колінеарні?

А

Б

В

Г

Д

= 10

n = 5

= 0

n = - 5

n = -10

7. При якому значенні р вектори  (3; р; -1) і  (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

А

Б

В

Г

Д

р = -5

p = 10

p = 5

p = -10

інша відповідь

8. Одиничні вектори  і  утворюють кут 120°, а одиничний вектор  перпендикулярний до них. Знайдіть довжину вектора  +  + .

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Нехай ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Установіть відповідність між різницями векторів (1—4) так значеннями(А-Д).

1

 - 

А

 

2

 -  

Б

 

3

AD1 - 

В

 

4

 - 

Г

   

Д

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Визначте величину кута(у градусах) між векторами   -   і , якщо відомо, що  (3; 5;-4),  (-2; 5; - 4) і  (0;0;2).

11. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний добуток  ∙ .

12. Паралелограм ABCD побудовано на векторах а і як на сторонах. Відомо, що | | = 3, | | = 5, |  +  | = 7. Знайдіть величину кута (у градусах) між векторами  і .

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.