ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

 

Розділ 2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

 

2.19. Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Коливальна система може віддавати енергію в зовнішнє середовище. Це відбувається внаслідок того, що частинки середовища беруть участь у коливальному процесі. Кожне збурення, що виникає в певній ділянці середовища, поступово поширюватиметься, захоплюючи частинки, розміщені все далі від початкового збурення.

Частинка середовища, що лежить на відстані х від місця початкового збурення, почне коливатися лише тоді, коли до неї дійде коливальний процес, що поширюється в середовищі. Позначимо швидкість поширення коливального процесу через u. Він дійде до фіксованої частинки через проміжок часу

Якщо коливання описуються рівнянням то коливання певної частинки відбуватимуться за тим самим синусоїдальним законом, але із запізненням на час τ:

де а — амплітуда; φ0 — початкова фаза коливань.

Вираз є рівнянням плоскої біжучої хвилі, що поширюється в додатковому напрямі осі х.

Розглянемо тепер розподіл зміщень у просторі в певний момент часу (t = const). Візьмемо цей момент за початковий, тобто коли t = 0. Тоді

 

де

Оскільки Т — період коливань, а u — швидкість поширення їх, то добуток uТ визначає відстань, на яку пошириться коливальний процес за час одного періоду. Цю відстань називають довжиною хвилі. Дві частинки, що відокремлені одна від одної інтервалом λ = uТ, коливаються в тій самій фазі. Кожна з них проходить через нульове положення одночасно з другою частинкою. Тому довжину хвилі можна розглядати також як відстань між двома найближчими точками середовища, для яких різниця початкових фаз коливань становить 2π.

Величину k = - називають хвильовим числом.

Геометричне місце точок середовища, яких коливання досягають у фіксований момент часу t, називають фронтом хвилі. Він відокремлює ту частину простору, яка втягнута у хвильовий процес, від тієї, куди коливання ще не поширились.

Крім поняття фронту хвилі використовують поняття хвильової поверхні. Хвильовою поверхнею називають геометричне місце точок, що коливаються в тій самій фазі. На відміну від фронту хвилі в кожний певний момент часу існує нескінченна множина хвильових поверхонь, оскільки їх можна проводити через будь-яку точку простору, який охоплено хвильовим процесом. Зрозуміло, що фронт хвилі треба розглядати як окремий випадок хвильової поверхні. Залежно від конфігурації джерела коливань і властивостей середовища, в якому поширюється хвильовий процес, хвильові поверхні, а отже, і фронт хвилі можуть набирати певної форми — форми сфери, площини або навіть складнішої форми, яка в загальному випадку може змінюватися з часом. Виходячи з форми фронту хвилі, розрізняють сферичні, плоскі, еліптичні та інші хвилі. Сферична хвиля виникає, наприклад, в однорідному та ізотропному середовищі за наявності в ньому точкового джерела коливань. У такому разі хвильові поверхні й фронт хвилі матимуть форму сфери. Умову реалізації хвильових поверхонь (фронту хвилі як окремого випадку хвильової поверхні) записують так:

де φ0 — початкова фаза коливань.

Різним значенням фази хвилі φi відповідатимуть різні хвильові поверхні. Із формули (2.75) випливає, що фронт хвилі при цьому переміщується зі швидкістю

Оскільки з цією самою швидкістю переміщується також поверхня сталої фази, то її називають фазовою швидкістю.

При поширенні хвильового процесу частинки середовища не захоплюються рухомою хвилею; вони здійснюють лише коливальні рухи навколо положення рівноваги. Швидкість хвилі u — це не швидкість поступального руху матеріальних частинок, а швидкість поширення імпульсу, що спричинює зміщення частинок. Оскільки проходження хвилі супроводжується коливаннями частинок середовища, то разом із хвилею поширюється в просторі й енергія коливань.

Уявімо собі елемент пружного середовища з об’ємом V, в якому поширюється хвиля з амплітудою а та частотою ω. Можна показати, що середнє значення енергії, яку приносить хвиля в цей об’єм, Поділивши його на об’єм, дістанемо вираз для середньої густини енергії хвилі:

де ρ = m/V — густина речовини.

Густина енергії та її середнє значення (2.77) пропорційні густині середовища ρ, квадрату частоти ω і квадрату амплітуди хвилі а. Така залежність спостерігається не лише для плоскої хвилі зі сталою амплітудою, а й для інших хвиль.

Таким чином, середовище, в якому поширюється хвиля, має додатковий запас енергії. Ця енергія передається від джерела коливань у різні точки середовища самою хвилею. Отже, хвиля переносить разом із собою енергію. Відношення кількості енергії ΔЕ до часу Δt, за який цю енергію перенесено, називають потоком енергії. Припускають, що Δt » Т, де Т — період коливань. Потік енергії — скалярна величина, що виражається у ватах (СІ) та ергах за секунду (система СГС).

Потік енергії хвиль у різних точках середовища має різну інтенсивність. Для характеристики потоку енергії вводять векторну величину, яку називають густиною потоку енергії хвиль. Ця величина дорівнює відношенню потоку енергії до площі поверхні, яка розташована перпендикулярно до напряму поширення хвиль. Напрям вектора густини потоку енергії збігається з напрямом перенесення енергії хвиль.

Нехай через площину ΔS перпендикулярно до напряму поширення хвилі переноситься енергія ΔЕ за час Δt. Тоді густина потоку енергії

Ураховуючи, що ΔЕ/ Δt є потоком енергії ΔФ через площину ΔSL , можна записати

Через площину ΔSза час Δt переноситься енергія ΔЕ, що міститься в об’ємі циліндра з основою ΔS та висотою uΔt (u — фазова швидкість хвилі). Якщо розміри циліндра досить малі, то густину енергії х в усіх точках такого циліндра можна вважати однаковою і

Підставивши вираз (2.80) у формулу (2.78), дістанемо

Розглядаючи фазову швидкість u як вектор, напрям якого збігається з напрямом поширення хвиль (і перенесення енергії), можна записати

Російський фізик М. О. Умов уперше ввів поняття вектора густини потоку енергії (вектор Умова). Вектор , як і густина енергії χ, неоднаковий у різних точках простору. Середнє його значення з урахуванням (2.77) можна записати так:

Величину, що дорівнює добутку густини середовища на швидкість поширення хвиль z = ρu, називають хвильовим опором.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити